Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 42 стр.

     ι = OA . Здесь для эквивалентностей α и β в качестве α t β выступает их эк-
     вивалентное замыкание (случае перестановочности α и β совпадающее с их про-
     изведением и объединением — см. на c. 20 следствие 2 утверждения 1.2), а в ка-
     честве u — теоретико-множественное пересечение α ∩ β. Эту решётку называют
     также решёткой всех разбиений множества A.
   4. Множество Sub (G) всех подгрупп группы G с операциями xty = hx, yi (подгруп-
       па порожденная объединением подгрупп x и y ) и xuy = x∩y (это множество, как
       известно, всегда является группой) есть решётка. Здесь o = E (единичная группа)
       и ι = G.
    В ч.у. множестве L = h N, | i для любой пары натуральных чисел m и n существуют
наименьшее общее кратное m ∨ n и наибольший общий делитель m ∧ n, из определений
которых следует, что m∨n = sup { m, n } и m∧n = inf { m, n }. Таким образом, L — ре-
шёточно упорядоченное множество. С другой стороны, операции ∨ и ∧ удовлетворяют
законам коммутативности, ассоциативности и идемпотентности, и поэтому h N, ∨, ∧ i —
алгебраическая решётка. Наконец, если в данной решётке ввести отношение δ по пра-
             def
вилу mδn = m ∧ n = m, то δ оказывается отношением «делит», и, таким образом,
h N, δ i = L — ч.у. множество.
    Данное рассмотрение наводит на мысль, что алгебраические решётки и частично упо-
рядоченные множества тесно связаны. Это действительно так, и данная связь устанав-
ливается нижеследующей теоремой.
Теорема 2.6.
  1. Пусть h P, v i — решёточно упорядоченное множество. Если для любых элемен-
     тов x и y из P положить
                              def                     def
                        x t y = sup {x, y} ,    x u y = inf {x, y} ,
     то h P, t, u i будет алгебраической решёткой.
  2. Пусть h L, t, u i — алгебраическая решётка. Если для любых элементов x и y
     из P положить
                            def                        def
                      xvy = xuy =x         (или x v y = x t y = y) ,
     то h L, v i будет решёточно упорядоченным множеством.
Доказательство. Доказательство (1) сводится к проверке законов коммутативности,
ассоциативности и поглощения в полученной АС h P, t, u i.
    Доказательство (2) сводится к проверке рефлексивности, антисимметричности и тран-
зитивности у введённого отношения v и установлению, что sup { x, y } = x t y, а
inf { x, y } = x u y.
    Теорема 2.6 устанавливает взаимнооднозначное соответствие между решёточно упо-
рядоченными множествами и алгебраическими решётками: из одной АС всегда можно
получить другую. Поэтому термин «решётка» применяют для обоих понятий, имея в ви-
ду, что любую решётку можно представить либо как ч.у. множество, либо как алгебру.
Например, решёточно упорядоченные множества h R, 6 i, h N, | i и h P(A), ⊆ i из приме-
ра 23 можно записать в виде алгебраических решёток соответственно как h R, max, min i,
h N, ∨, ∧ i и h P(A), ∪, ∩ i. Возможность такого рассмотрения решёток позволяет вво-
дить в них как порядковые, так и алгебраические операции, что приводит к богатой
и многообразной в приложениях теории. Отметим очевидную изотонность решётчатых
операций t и u: если a1 v b1 и a2 v b2 , то a1 t a2 v b1 t b2 и a1 u a2 v b1 u b2 .

                                          42