Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 44 стр.

Теорема 2.8. Две решётки алгебраически изоморфны, если и только если они изоморф-
ны как порядки.

Доказательство. (⇐) Пусть ϕ — алгебраический изоморфизм решётки h A, t, u i на
некоторую другую решётку. Так как отображение ϕ взаимнооднозначно и изотонно,
остаётся показать его обратную изотонность. Обратная изотонность устанавливается об-
ращением следования в (2.1) что можно сделать, поскольку ϕ взаимнооднозначно.
   (⇒) Пусть A и B — две решётки, изоморфные как порядки. Докажем устойчивость
операции u относительно порядкового изоморфизма ϕ, т.е. что ϕ(x u y) = ϕ(x) u ϕ(y).
Устойчивость операции t относительно ϕ будет справедлива по двойственности.
   Для произвольных элементов x, y ∈ A в силу изотонности ϕ в решётке B справед-
ливым ϕ(x u y) ∈ { ϕ(x), ϕ(y) }O . Пусть b есть элемент { ϕ(x), ϕ(y) }O . Тогда, в силу
сюръективности ϕ, в A найдется элемент a, такой, что ϕ(a) = b. Но тогда

 ϕ(a) v ϕ(x) ∧ ϕ(a) v ϕ(y) ⇒ a v x ∧ a v y ⇒ a v (x u y) ⇒ ϕ(a) v ϕ(x u y)

(первое следование здесь возможно в силу обратной изотонности ϕ ). Таким образом,
ϕ(x u y) = inf { ϕ(x), ϕ(y) }, или ϕ(x u y) = ϕ(x) u ϕ(y).
   Данная теорема позволяет не различать типы изоморфизма решёток и использовать
для него традиционный символ ∼ =.
   Имея исходные решётки, можно строить новые, используя их гомоморфные образы и
операции + и × над ч.у. множествами. При этом можно показать, что для построения
диаграммы Хассе декартова произведения конечных решёток остается верным способ её
построения для них, как для ч.у. множеств.

Определение 2.14. Подрешёткой решётки L называется решётка L0 такая, что L0 —
устойчивое относительно операций t и u подмножество L. При этом используется обо-
значение L0 6 L.

Пример 25.   1. Каждое подмножество решётки L является подрешёткой, если и толь-
    ко если L — цепь.

  2. Пересечение подрешёток либо пусто, либо является подрешёткой. Для любых эле-
     ментов x и y решётки L интервал [ x, y ] либо пуст, либо является подрешёткой
     L.
     В силу этого, оказывается удобным считать подрешёткой и пустое множество. То-
     гда пересечение любой совокупности подрешёток и любой интервал решётки ока-
     зываются подрешёткой.

  3. Если ϕ = Hom (L, L0 ), то Im ϕ 6 L0 .

  4. Обозначим через N◦ множество натуральных чисел, свободных от квадратов
     (см. пример 3.4). Тогда h N◦ , ∨, ∧ i 6 h N, ∨, ∧ i.

  5. С помощью теоремы 2.8 устанавливается, что решётка N◦ изоморфна решётке
     P0 (A) всех конечных подмножеств счётного множества A (считая, что 1 свободно
     от квадратов).
     Рассмотрим любую биекцию ϕ между множеством простых чисел (которые все со-
     держатся в N◦ , и множество которых, как показал Евклид, счётно) и A. Таким об-
     разом, определено частичное инъективное отображение ϕ для простых чисел из N◦
     в A. Полагаем ϕ(1) = ∅. Далее, для остальных элементов n = p1 . . . pk , k > 1 из N◦ ,

                                            44