Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 46 стр.

                                             [ ι

                                             [[
                                      
                                    b [    c      d

                                      [[      
                                            
                              a[           e
                                 [[ 
                                      
                                      o


                      Рис. 9: Решётка с неядерным идеалом hbi

 2) Пусть x v y или x ∈ J(y). В этом случае z ∈ J(x) влечёт z v x v y и, по
    транзитивности, z ∈ J(y). Таким образом ϕ(x) = J(x) ⊆ J(y) = ϕ(y).

 3) Если ϕ(x) ⊆ ϕ(y) или, что то же J(x) ⊆ J(y), то x ∈ J(y) (поскольку x ∈ J(x) ),
    и, значит, x v y.

 4) Поскольку в тотальной алгебре множеств P(A) точная нижняя грань двух элемен-
    тов (подмножеств A ) совпадает с их теоретико-множественным пересечением, нам
    надо показать, что ϕ(x u y) = ϕ(x) ∩ ϕ(y). В самом деле,

       z ∈ ϕ(x u y) ⇔ z ∈ J(x u y) ⇔ z v (x u y) ⇔
                       ⇔ z v x ∧ z v y ⇔ z ∈ J(x) ∧ z ∈ J(y) ⇔
                                         ⇔ z ∈ (J(x) ∩ J(y)) ⇔ z ∈ (ϕ(x) ∩ ϕ(y)) .

Теорема доказана.
   Данная теорема позволяет представлять элементы любой решётки подмножества-
ми некоторого множества A, а операцию пересечения отождествить с теоретико-
множественным пересечением в A. Это, в свою очередь, даёт возможность пользоваться
аналогами диаграмм Эйлера-Венна. При этом наибольшему элементу решётки ι (если он
существует) соответствует само множество A, а наименьшему o (если он есть) догова-
риваются сопоставлять пустое подмножество A (хотя по теореме 2.9 ϕ(o) = J(o) = {o},
но точка, соответствующая o, содержится во всех идеалах решётки, и её можно удалить
без нарушения отношения включения идеалов).
   Отличие от ситуации с булевой алгеброй будет в представлении объединения подмно-
жеств: можно показать, что отображение ϕ, описанное в теореме 2.9 обладает свойством
включения ϕ(x) ∪ ϕ(y) в ϕ(x t y), но не их равенства (которое будет иметь место только
в случае сравнимости x и y ). Поэтому при обозначении объединения элементов, изоб-
ражаемых в виде связных выпуклых областей, необходимо рисовать выпуклую область,
покрывающую “с запасом” области, соответствующие данным элементам (см. рис. 10).

2.3   Специальные виды решёток
Далее мы рассмотрим некоторые специальные типы решёток, представляющие особый
интерес.

                                          46