Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 48 стр.

b = { {1}, {2, 3}, {4} } и c = { {1, 2}, {3, 4} } соответственно. Вместе с диагональным
отношением в качестве o и аморфной эквивалентностью в качестве ι они образуют ре-
шётку N5 (см. рис. 8). Однако, она немодулярна, поскольку a v c, но
                    a t (c u b) = a t o = a 6= c u (a t b) = c u ι = c .
Таким образом, решётка h E(M ), ⊆ i содержит немодулярную подрешётку, и, следова-
тельно немодулярна сама.
   Немодулярность N5 оказывается ключевой: справедлива
Теорема 2.10 (Критерий модулярности решётки). Решётка модулярна, если и только
если никакая её подрешётка не изоморфна пятиугольнику N5 .
Доказательство. (⇐) Поскольку пятиугольник не модулярен, то никакая решётка, со-
держащая изоморфную ему подрешётку, не может быть модулярной.
   (⇒) Покажем, что немодулярная решётка L содержит подрешётку, изоморфную пя-
тиугольнику N5 .
   Немодулярность L означает существование таких её элементов x, y и z , что x v y ,
но x t (y u z) @ y u (x t z). Покажем, что элементы y u z, x t (y u z), y u (x t z), z, x t z
образует подрешётку в L, изоморфную N5 .
   В самом деле, должны иметь место соотношения
             yuz @z @xtz         и    y u z @ x t (y u z) @ y u (x t z) @ x t z ,
поскольку, заменив первый, второй третий или пятый знак @ на =, получим x v z или
z v y, откуда сразу следует модулярный закон.
   Далее
   x t y = (x t z) t z v (x t (y u z)) t z v (y u (x t z)) t z v (x t y) t z = x t z .
Это означает, что элементы x t (y u z) и y u (x t z) оба дают в объединении с z элемент
x t z.
   Кроме того,
 y u y = (y u z) u z v (x t (y u z)) u z v (y u (x t z)) u z = y u ((x t z) u z) = y t z .
Это означает, что элементы x t (y u z) и y u (x t z) оба дают в пересечении с z элемент
y u z.
   Данный критерий влечет справедливость условия Жордана-Дедекинда для цепей: ес-
ли в конечной решётке две максимальные цепи между элементами a v b имеют разную
длину, то интервал [ a, b ] содержит подрешётку, изоморфную N5 , и, следовательно, дан-
ная решётка немодулярна.
Пример 27. Решётка, изображённая на рис. 11 немодулярна: длины её максимальных
цепей не совпадают и, как следствие, она содержит подрешётку, изоморфную N5 (на-
пример, { o, a, b, ι, g } ).
Теорема 2.11. Решётка h L, t, u i модулярна, если и только если для любых её эле-
ментов x, y и z имеет место соотношение
                           x t ((x t y) u z)) = (x t y) u (x t z)
или эквивалентное двойственное ему
                           x u ((x u y) t z)) = (x u y) t (x u z) .

                                             48