Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 49 стр.

                                        [[
                                         ι
                                    
                                  b         e [
                                               [
                                         
                                       g
                                         [[      f
                                              
                                  a[        d
                                     [ 
                                         o


                            Рис. 11: Немодулярная решётка

Доказательство. Если решётка L модулярна, то первое тождество следует из “нера-
венства” x v x t y, если в модулярном законе заменить y на x t y. Обратно, при x t y,
или, что то же, при x t y = y, первое тождество превращается в x t (y u z) = y u (x t z),
что является заключением модулярного закона.
   Справедливость второго тождества следует из принципа двойственности.

2.3.2      Дистрибутивные решётки
Определение 2.17. Решётка называется дистрибутивной, если в ней выполняется
дистрибутивные законы
 Dtr1 : (x t y) u z = (x u z) t (y u z) ; Dtr2 : (x u y) t z = (x t z) u (y t z) .
    Ясно, что смысл дистрибутивных законов состоит в выполнении следований, обрат-
ных утверждаемым в Dtr1 w и Dtr2 v. Так же понятно, что для дистрибутивных ре-
шёток принцип двойственности остается справедливым. Более того, легко видеть, дис-
трибутивные законы для решёток эквивалентны. Действительно, для любых элементов
x, y, z решётки имеем
                   Dtr1                                Abs1, Dtr1
 (x t z) u (y t z) = (x u (y t z)) t (z u (y t z))          =
                                                                         Abs2
                                                  = (x u y) t (x u z) t z = (x u y) t z .
т.е. доказано следование Dtr1 ⇒ Dtr2. Двойственно показывается, что Dtr2 ⇒ Dtr1.
Так что достаточно было потребовать выполнения лишь одного из дистрибутивных за-
конов (обычно постулируют выполнение Dtr1 ).
    В дистрибутивных решётках и только в них справедливо следующее правило.
Утверждение 2.2 (Правило сокращения). Решётка L дистрибутивна, если только
если для любых x, y, z ∈ L справедливо следующее правило сокращения
            ½
              xty =xtz
    Abbr :                   ⇒ y = z.
              xuy =xuz
Доказательство. (⇐) Пусть в дистрибутивной решетке для некоторых элементов x, y
и z справедливы равенства x t y = x t z и x u y = x u z. Тогда имеем:
    Abs1                          Dtr1
 y = y u (y t x) = y u (z t x) = (y u z) t (y u x) =
                                                     Dtr1                         Abs1
                               = (y u z) t (x u z) = (y t x) u z = (x t z) u z = z .

                                             49