Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 50 стр.

Мы видим, что справедливость Abbr есть следствие законов коммутативности, поглоще-
ния и дистрибутивности.
   (⇒) Доказательство достаточности может быть найдено в [13].
Пример 28.     1. Все цепи, булевы алгебры и их подрешётки дистрибутивны.

  2. Покажем дистрибутивность решётки h N, | i, т.е., что для любых натуральных чисел
     x, y, z справедливо соотношение

                                 x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) ,

     где x ∧ y — наибольший общий делитель, а x ∨ y — наименьшее общее кратное
     x и y. Воспользуемся каноническим представлением натуральных чисел в виде
     произведений их простых сомножителей
                                 s
                                 Y                    s
                                                      Y                       s
                                                                              Y
                           x =         piαi ,   y =          piβi ,   z =           piγi ,
                                 i=1                  i=1                     i=1

     считая, что некоторые показатели могут быть равны 0. Тогда
                                                  s
                                                  Y         min{ αi , max{ βi , γi } }
                               x ∧ (y ∨ z) =            pi                               ,
                                                  i=1
                                                 s
                                                 Y      max{ min{ αi , βi }, min{ αi , γi } }
                        (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) =            pi                                       ,
                                                 i=1

     и требуемое равенство min { αi , max { βi , γi } } = max { min{ αi , βi }, min{ αi , γi } }
     представляет собой дистрибутивный закон для цепи неотрицательных целых чисел.

  3. Решётка всех подпространств векторного пространства, упомянутая выше в каче-
     стве примера модулярной решётки, не является дистрибутивной.

  4. Непустая совокупность подмножеств некоторого множества, содержащая вместе с
     двумя подмножествами их объединение и пересечение называется решёткой или
     кольцом множеств (ср. с определением поля множеств на с. 5). Всякая решёт-
     ка множеств дистрибутивна, поскольку дистрибутивны теоретико-множественные
     операции объединения и пересечения.

  5. Решётка Sub (C) всех подгрупп циклической группы C дистрибутивна. Заметим,
     что, однако, Sub (C) не является решёткой множеств, поскольку объединение её
     элементов (в отличие от пересечения) не совпадает с теоретико-множественным.
   Пятиугольник N5 недистрибутивен: действительно, (см. рис. 8d)

                 (a t b) u c = ι u c = c 6= (a u c) t (b u c) = a t o = a .

Поэтому справедливо

Утверждение 2.3. Всякая дистрибутивная решётка модулярна.

   Это утверждение так же следует из того, что модулярный закон представляет собой
ослабленную форму первого дистрибутивного закона: если x v y, то x t y = y и
                                  Dtr1
                      x t (y u z) = (x t y) u (x t z) = y u (x t z) .

                                                  50