Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

V
4
= ι
a c
b
E = o
Рис. 12: Решётка Sub (V
4
).
Решётка NSub (G) всех нормальных подгрупп группы G модулярна (см. пример 26.2)
но, в общем случае, не дистрибутивна. Действительно, рассмотрим четверную группу
Клейна V
4
= h x, y i, x
2
= y
2
= e, xy = yx. Собственные её подгруппы суть a = hxi,
b = hyi и c = hxyi. Все они нормальны, поскольку V
4
абелева. Решётка Sub (V
4
) её
подгрупп (см. рис. 12) изоморфна M
3
и модулярна, но не дистрибутивна, т.к. не дистри-
бутивен ромб M
3
:
(a t b) u c = ι u c = c 6= (a u c) t (b u c) = o t o = o .
Недистрибутивность M
3
, оказывается ключевой: справедлива
Теорема 2.12. Модулярная решётка является дистрибутивной, если и только если
никакая её подрешётка не изоморфна ромбу M
3
.
Доказательство. (⇐) Поскольку ромб M
3
не дистрибутивен, то никакая решётка, со-
держащая изоморфную ему подрешётку, не может быть дистрибутивной.
(⇒) Пусть решётка L модулярна и не содержит M
3
в качестве подрешётки. Для
произвольных x, y, z ∈ L рассмотрим следующие пять элементов
a = (z u (x t y)) t (x u y) ,
b = (y u (x t z)) t (x u z) ,
c = (x u (y t z)) t (y u z) ,
u = (x u y) t (y u z) t (z u x) ,
v = (x t y) u (y t z) u (z t x) .
Покажем сначала, что
a t b = b t c = c t a = v и a u b = b u c = c u a = u .
Имеем
(z u (x t y)) t (y u (x t z)) = (x t y) u ((y u (x t z)) t z) =
= (x t y) u ((x t z) u (y t z)) = v .
Вывод сделан с учётом модулярного закона, а также следований y u (x t z) v x t z
и z v x t z для первого и второго равенств соответственно. Отсюда получаем, что
a t b = v и, в силу симметрии, что b t c = c t a = v.
51
                                            [[
                                            V4 = ι

                                                [
                                      
                                     a[    c      b
                                        [[      
                                             
                                            E=o


                                Рис. 12: Решётка Sub (V4 ).

   Решётка N Sub (G) всех нормальных подгрупп группы G модулярна (см. пример 26.2)
но, в общем случае, не дистрибутивна. Действительно, рассмотрим четверную группу
Клейна V4 = h x, y i, x2 = y 2 = e, xy = yx. Собственные её подгруппы суть a = hxi,
b = hyi и c = hxyi. Все они нормальны, поскольку V4 абелева. Решётка Sub (V4 ) её
подгрупп (см. рис. 12) изоморфна M3 и модулярна, но не дистрибутивна, т.к. не дистри-
бутивен ромб M3 :

                (a t b) u c = ι u c = c 6= (a u c) t (b u c) = o t o = o .

   Недистрибутивность M3 , оказывается ключевой: справедлива

Теорема 2.12. Модулярная решётка является дистрибутивной, если и только если
никакая её подрешётка не изоморфна ромбу M3 .

Доказательство. (⇐) Поскольку ромб M3 не дистрибутивен, то никакая решётка, со-
держащая изоморфную ему подрешётку, не может быть дистрибутивной.
   (⇒) Пусть решётка L модулярна и не содержит M3 в качестве подрешётки. Для
произвольных x, y, z ∈ L рассмотрим следующие пять элементов

                            a   =   (z u (x t y)) t (x u y) ,
                            b   =   (y u (x t z)) t (x u z) ,
                            c   =   (x u (y t z)) t (y u z) ,
                            u   =   (x u y) t (y u z) t (z u x) ,
                            v   =   (x t y) u (y t z) u (z t x) .

   Покажем сначала, что

            atb = btc = cta = v               и      a u b = b u c = c u a = u.

Имеем

 (z u (x t y)) t (y u (x t z)) = (x t y) u ((y u (x t z)) t z) =
                                                     = (x t y) u ((x t z) u (y t z)) = v .

Вывод сделан с учётом модулярного закона, а также следований y u (x t z) v x t z
и z v x t z для первого и второго равенств соответственно. Отсюда получаем, что
a t b = v и, в силу симметрии, что b t c = c t a = v.


                                              51

Страницы