Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 52 стр.

   Учитывая модулярный закон и очевидное следование x u y v x t z получаем другое,
двойственное к исходному, выражение для a:

                              a = (z t (x u y)) u (x t y) .

Аналогично

                              b = (y t (z u x)) u (z t x) ,
                              c = (x t (y u z)) u (y t z) .

    Используя теперь принцип двойственности для модулярных решёток и учитывая, что
u двойственно v, получим a u b = b u c = c u a = u.
    Таким образом, если все элементы a, b и c попарно различны, то подрешётка
{ u, a, b, c, u } в L изоморфна ромбу M3 . Это невозможно, и, значит, u = a = b = c = u,
но тогда
                           (x t y) u z v a = u v (x u z) t (y u z) ,
и, следовательно, в L выполняется дистрибутивный закон.

Следствие (Критерий дистрибутивности решётки). Решётка дистрибутивна, если и
только если никакая её подрешётка не изоморфна ни пятиугольнику N5 , ни ромбу M3 .

   Пусть I — идеал дистрибутивной решётки L. Отношение

                        θI = { (a, b) ∈ L2 | ∃ x (a t x = b t x) }
                                             I

является, как нетрудно видеть, эквивалентностью на L. Кроме того, легко устанавлива-
ется, что                                   ½
                                              (x1 t x2 )θI (y1 t y2 )
                      x1 θI x2 ∧ y1 θI y2 ⇒                           .
                                              (x1 u x2 )θI (y1 u y2 )
Это позволяет корректно определить операции объединения и пересечения классов на
фактормножестве L/θI (поскольку их результат не будет зависеть от выбранных эле-
ментов в соответствующих классах). Таким образом, L/θI есть решётка (с нулём). Го-
моморфизм ϕ : L → L/θI , определяемый естественным отображением ϕ = nat(L, θI )
имеет своим ядром данный идеал I. Решётка дистрибутивна если и только если каждый
её идеал ядерный, т.е. является ядром подходящего гомоморфизма (ср. рис. 9).
    Два разных гомоморфизма дистрибутивной решётки на одну и ту же решётку могут
иметь совпадающие ядерные идеалы.
    В дальнейшем нам понадобятся некоторые леммы, которые, впрочем, представляют
и самостоятельный интерес.

Лемма 2.13. Совокупность J(P ) порядковых идеалов элементов ч.у. множества P
есть дистрибутивная решётка.

Доказательство. Пусть P — ч.у. множество и J(P ) — совокупность порядковых иде-
алов P . Введём на J(P ) операции объединения и пересечения как соответствующие
теоретико-множественные. Поскольку объединение и пересечение порядковых идеалов
есть порядковый идеал, а теоретико-множественные операции дистрибутивны, то J(P )
есть дистрибутивная решётка.




                                            52