Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

hd, ei
hc, di ha, ei
hdi ha, b, ci hei
ha, bi ha, ci hb, ci
hai hbi hci
∅
Рис. 14: Решётка J(Z
5
)
Доказательство. Если элемент b неразложим, то b = b t b. Пусть b = b
1
t b
2
и
b
1
6= b 6= b
2
. Если и b
1
, и b
2
неразложимы, то лемма доказана. В противном случае
представляем b
1
и/или b
2
в виде объединения строго содержащихся в них элементов, и
т.д. В силу конечности решётки указанный процесс закончится, и исходный элемент b
будет представлен в виде объединения неразложимых элементов.
Множество неразложимых в объединение элементов решётки L будем обозначать
Irr L. На этом множестве можно ввести порядок, наследуемый от L и рассматривать
Irr L как ч.у. множество.
Лемма 2.15. Если P — ч.у. множество, то Irr J(P )
∼
=
P .
Доказательство. Пусть P — ч.у. множество. Тогда J(P ) — дистрибутивная решётка
его порядковых идеалов. Ясно, что порядковый идеал решётки неразложим, если и толь-
ко если он является главным. Поэтому между неразложимыми в объединение элемента-
ми из J(P ) и элементами P существует взаимнооднозначное соответствие. Ранее же был
показан изоморфизм между ч.у. множеством и совокупностью его главных идеалов.
Пример 30. 1. Рассмотрим ч.у. множество P , заданное диаграммой Хассе
на рис. 15 a). Множество её идеалов J(P ) представлено на на рис. 15 b),
где выделены неразложимые элементы J(P ).
2. Для ч.у. множества P , заданного диаграммой Хассе на рис. 16 a), решётка J(P ) и
ч.у. множество Irr J(P ) приведены на b) и c).
54
                                            hd, ei
                                                    [[
                                                     [[
                                 
                            [[                                   [
                            hc, di                      ha, ei

                                        [[                       [
                                                                 [[
                                                 
                   hdi
                       [                          [
                                           ha, b, ci                      hei
                         [[                        [[              
                            [                         [         
                            ha, bi
                                      [[ ha, ci[[ hb, ci
                                        [[      [[
                                               
                                hai
                                      [[      hbi           hci

                                         [[ 
                                            
                                              ∅


                                Рис. 14: Решётка J(Z5 )

Доказательство. Если элемент b неразложим, то b = b t b. Пусть b = b1 t b2 и
b1 6= b 6= b2 . Если и b1 , и b2 неразложимы, то лемма доказана. В противном случае
представляем b1 и/или b2 в виде объединения строго содержащихся в них элементов, и
т.д. В силу конечности решётки указанный процесс закончится, и исходный элемент b
будет представлен в виде объединения неразложимых элементов.
   Множество неразложимых в объединение элементов решётки L будем обозначать
Irr L. На этом множестве можно ввести порядок, наследуемый от L и рассматривать
Irr L как ч.у. множество.

Лемма 2.15. Если P — ч.у. множество, то Irr J(P ) ∼
                                                  = P.

Доказательство. Пусть P — ч.у. множество. Тогда J(P ) — дистрибутивная решётка
его порядковых идеалов. Ясно, что порядковый идеал решётки неразложим, если и толь-
ко если он является главным. Поэтому между неразложимыми в объединение элемента-
ми из J(P ) и элементами P существует взаимнооднозначное соответствие. Ранее же был
показан изоморфизм между ч.у. множеством и совокупностью его главных идеалов.
Пример 30.   1. Рассмотрим ч.у. множество P , заданное диаграммой Хассе
    на рис. 15 a). Множество её идеалов J(P ) представлено на на рис. 15 b),
    где выделены неразложимые элементы J(P ).

  2. Для ч.у. множества P , заданного диаграммой Хассе на рис. 16 a), решётка J(P ) и
     ч.у. множество Irr J(P ) приведены на b) и c).


                                              54

Страницы