Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

усиление.
Теорема 2.17. Всякая конечная дистрибутивная решётка изоморфна решётке поряд-
ковых идеалов подходящего ч.у. множества.
Доказательство. Пусть h L, t, u i — конечная дистрибутивная решётка, Irr L — под-
множество неразложимых в объединение элементов J(L) (дистрибутивная в силу лем-
мы 2.13) и J(Irr L) — соответствующая подрешётка J(L).
В силу леммы 2.15 достаточно показать, что L
∼
=
J(Irr L). Ясно, что J(x) ∈ J(Irr L),
где J(x) = x
O
— главных идеал x ∈ L и отображение ϕ : x 7→ J(x) есть изотонное и
обратно изотонное вложение L в J(Irr L) (см. доказательство теоремы 2.9). Следова-
тельно, нам осталось показать, что ϕ сюръективно.
Пусть I — некоторый идеал из J(Irr L). Теорема будет доказана, если будет уста-
новлено, что идеал I главный.
Обозначим x = sup { y | y ∈ I }. Ясно, что I ⊆ J(x) и
x = sup { y | y ∈ I } = sup { y | y ∈ J(x) } .
Пусть z — некоторый элемент J(x). Вычислим x u z. В силу дистрибутивности, имеем
sup { y u z | y ∈ I } = sup { y u z | y ∈ J(x) } . (2.2)
Правая часть (2.2) есть в точности z, т.к. один из элементов J(x) есть z, а все другие
элементы J(x) в z содержатся. Поскольку z ∈ Irr L, то z неразложим. Отсюда из (2.2)
следует, что некоторый элемент y ∈ I удовлетворяет условию y u z = z, т.е. z v y. Так
как I — порядковый идеал и z ∈ I, то J(x) ⊆ I, откуда I = J(x), т.е. I — главный
идеал.
Пример 31. Для конечной дистрибутивной решётки, представленной на рис. 17 a) ч.у.
множество Irr J(L) и решётка J(Irr L) приведены на b) и c).
ι
hb, ci
b
c
b
c
J(b) J(c)
a a
J(a)
o
∅
a) L b) Irr L b) J(Irr L)
Рис. 17: Диаграммы Хассе решётки L, ч.у. множества Irr L и дистрибутивной решётки
J(Irr L)
56
усиление.

Теорема 2.17. Всякая конечная дистрибутивная решётка изоморфна решётке поряд-
ковых идеалов подходящего ч.у. множества.

Доказательство. Пусть h L, t, u i — конечная дистрибутивная решётка, Irr L — под-
множество неразложимых в объединение элементов J(L) (дистрибутивная в силу лем-
мы 2.13) и J(Irr L) — соответствующая подрешётка J(L).
   В силу леммы 2.15 достаточно показать, что L ∼ = J(Irr L). Ясно, что J(x) ∈ J(Irr L),
             O
где J(x) = x — главных идеал x ∈ L и отображение ϕ : x 7→ J(x) есть изотонное и
обратно изотонное вложение L в J(Irr L) (см. доказательство теоремы 2.9). Следова-
тельно, нам осталось показать, что ϕ сюръективно.
   Пусть I — некоторый идеал из J(Irr L). Теорема будет доказана, если будет уста-
новлено, что идеал I главный.
   Обозначим x = sup { y | y ∈ I }. Ясно, что I ⊆ J(x) и

                       x = sup { y | y ∈ I } = sup { y | y ∈ J(x) } .

Пусть z — некоторый элемент J(x). Вычислим x u z. В силу дистрибутивности, имеем

                      sup { y u z | y ∈ I } = sup { y u z | y ∈ J(x) } .                      (2.2)
   Правая часть (2.2) есть в точности z, т.к. один из элементов J(x) есть z, а все другие
элементы J(x) в z содержатся. Поскольку z ∈ Irr L, то z неразложим. Отсюда из (2.2)
следует, что некоторый элемент y ∈ I удовлетворяет условию y u z = z, т.е. z v y. Так
как I — порядковый идеал и z ∈ I, то J(x) ⊆ I, откуда I = J(x), т.е. I — главный
идеал.
Пример 31. Для конечной дистрибутивной решётки, представленной на рис. 17 a) ч.у.
множество Irr J(L) и решётка J(Irr L) приведены на b) и c).


              ι [
                 [[                                                           [[
                                                                           hb, ci

                    [                                                           [
                                                                   
     b [
                     
                       c           b   [[              
                                                           c    J(b)
                                                                     [[                J(c)
         [[                             [[                                      
            [                                                        [        
                                            
              a                                a                           J(a)



              o                                                             ∅



             a) L                           b) Irr L                    b) J(Irr L)


Рис. 17: Диаграммы Хассе решётки L, ч.у. множества Irr L и дистрибутивной решётки
J(Irr L)


                                               56

Страницы