Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 58 стр.

   Решётка называется решёткой с дополнениями, если в ней каждый элемент имеет
хотя бы одно дополнение. Если каждый элемент решётки обладает в точности одним
дополнением, то её называют решёткой с единственными дополнениями.

   Ясно, что если y — дополнение x, то и x — дополнение y, и что в любой ограниченной
решётке o и ι являются единственными дополнениями друг для друга.
Пример 32.  1. В решётке алгебры подмножеств множества A каждый элемент
    X ⊆ A имеет единственное дополнение X = A r {X}. Это классический пример
    решётки с единственными дополнениями.

  2. В решётке, представленной на рис. 18 a) элемент 2 не имеет дополнения.

  3. Пятиугольник N5 — решётка с дополнениями. В ней (см. рис. 8.c) ) дополнениями
     a и c будет элемент b, а дополнениями b — элементы a и c.
   Следствием того, что в дистрибутивной решётке справедливо правило сокращения
Abbr (см. утверждение 2.2) является

Утверждение 2.4. Если решётка дистрибутивна, то каждый её элемент имеет не
более одного дополнения.

Доказательство. Допустим, что элемент x решётки имеет два дополнения — y1 и y2 .
Тогда                ½
                       x t y1 = x t y2 = ι  Abbr
                                            ⇒ y1 = y2 .
                       x u y1 = x u y2 = o
   Из теоремы Биркгофа 2.16 следует, что каждая дистрибутивная решётка вложима в
дистрибутивную решётку с единственными дополнениями.
   Вопрос о связи свойств дистрибутивности и наличия единственного дополнения у ре-
шёток является, как оказалось, достаточно глубоким и трудным. В начале XX века при
формулировке систем аксиом для булевой алгебры естественной была попытка опреде-
лить её как решётку, имеющую единственное дополнение. Это оказалось бы возможным,
если единственность дополнения у элементов решётки влекло бы её дистрибутивность.
В связи с этим Э. Хантингтоном (см. с. 5) было высказано предположение о том, что
все решётки с единственными дополнениями дистрибутивны. Вопрос о том, верна ли эта
гипотеза и составлял знаменитую проблему Хантингтона.
   К концу 30-х годов XX в. было исследовано значительное количество конкретных ре-
шёток с единственными дополнениями, все они оказались дистрибутивными, в силу чего
справедливость данного предположения практически не вызывала сомнений у матема-
тиков. Поэтому большой неожиданностью было опубликование в 1945 г. работы амери-
канского математика Р. Дилуорса16 в которой была доказана

Теорема 2.18 (Дилуорса). Всякая решётка может быть вложена в подходящую ре-
шётку с единственными дополнениями.

   В частности, можно взять пятиугольник N5 , и тогда теорема Дилуорса даст немоду-
лярную и, тем более, недистрибутивную решётку с единственными дополнениями.
   Таким образом было доказано, что существуют недистрибутивные решётки с един-
ственными дополнениями.17 Отметим однако, что данный объект в доказательстве тео-
ремы Дилуорса появляется лишь в результате некоторого предельного перехода, и до сих
 16
      Dilworth R.P. Lattices with unique complements. — Trans. Amer. Math. Soc., 1945, 57, p. 123-154.
 17
      Современное доказательство данной теоремы имеется в [12].


                                                     58