Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 60 стр.

Пример 34. Рассмотрим множество A, элементами которого являются подмножества дей-
ствительных чисел, представимые в виде объединения конечного числа полуинтервалов
вида (x, y], содержащихся в промежутке (0, 1]. Это множество, очевидно, устойчиво от-
носительно теоретико-множественных операций объединения, пересечения и дополнения
до (0, 1], т.е. представляет собой булеву алгебру. Единицей в ней будет интервал (0, 1], а
нулём — пустое множество, представляемое в виде (x, x]. Легко видеть, что эта алгебра
не имеет атомов: любой интервал (x, y] при 0 < x < y 6 1 содержит в себе ненулевой
подынтервал такого же вида.
Пример 35. Рассмотрим h P(Z), ∪, ∩, − , ∅, Z i — тотальную алгебру над множеством
целых чисел Z. Определим отношение ' над элементами P(Z): будем считать, что
A ' B, если симметрическая разность множеств A и B конечна.
    Ясно, что ' есть отношение эквивалентности. Поэтому можно образовать фактор-
множество P(Z)/'. Все конечные (включая пустое) подмножества P(Z) будут, очевид-
но, эквивалентныж обозначим этот класс эквивалентности [∅]. Также будут эквивалент-
ными все подмножества целых чисел, имеющих конечные дополнения до Z, включая
само Z; этот класс эквивалентности обозначим [Z].
    Далее, легко проверить, что введенное отношение является также и стабильным от-
носительно теоретико-множественных операций, т.е. для любых A, B ∈ P(Z) из A ' A0
и B ' B 0 следует A ∪ B ' A0 ∪ B 0 , A ∩ B ' A0 ∩ B 0 и A ' A0 . Это означает, что к эле-
ментам фактор-множества P(Z)/' применимы операции сигнатуры алгебры множеств,
и АС B = h P(Z)/ ', ∪, ∩, − , [∅], [Z] i будет являться булевой алгеброй.
    Легко убедиться, что данная булева алгебра не имеет атомов. Действительно, любой
отличный от o элемент B — класс бесконечных множеств. Атом — элемент, непосред-
ственно следующий за o, а таковые отсутствуют в B.
      Приведём без доказательства следующий критерий для атомных булевых алгебр.

Теорема 2.19. Булева алгебра будет атомной если и только если её единичный элемент
представляет собой точную верхнюю грань всех её атомов.

   В п. 1.1.3 было введено понятие изоморфизма булевых алгебр. Дадим теперь опреде-
ление булева гомоморфизма и его ядра.

Определение 2.21. Пусть B1 и B2 — две булевы алгебры. Решёточный гомоморфизм
ϕ : B1 → B2 называется булевым гомоморфизмом, если для всех x из B1 справедливо

                                       ϕ(x 0 ) = ϕ(x)0 .
                        def
   Множество Ker ϕ = { x ∈ B1 | ϕ(x) = o }, связанное с булевым гомоморфизмом ϕ
называют его ядром.18
   Инъективные булевы гомоморфизмы называют булевыми мономорфизмами.

   Таким образом, булев гомоморфизм сохраняет все операции булевой алгебры и её вы-
деленные элементы. Для того, чтобы булев гомоморфизм ϕ был булевым изоморфизмом
необходима биективность отображения ϕ. Ясно, что произвольный гомоморфизм одной
булевой алгебры в другую может не быть булевым гомоморфизмом.
Пример 36. Если A ⊂ B, то естественное вложение P(A) в P(B) является решёточным
мономорфизмом, но не булевым гомоморфизмом.
 18
   Здесь не надо путать ядро отображения (подмножество множества) с раннее рассмотренным ядер-
ным отношением (подмножество декартова квадрата множества).



                                              60