Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 62 стр.

   Теперь можно определить булеву структуру

                                   h B, t, u, 0 , v, o, ι i ,

где её редукт h B, t, u, 0 , o, ι i — булева алгебра. Для многих приложений удобнее рас-
сматривать не булевы алгебры, а сразу булевы структуры. Аналогично можно ввести
булеву структуру множеств

                               h P(A), ∪, ∩, − , ⊆, ∅, A i ,

дополнив тотальную алгебру множеств отношением включения ⊆. Очевидно также, что
любая булева структура множеств есть и булева структура.

Теорема 2.20. Булева структура есть решётка с относительными дополнениями.

Доказательство. Пусть B — булева структура, a v x v b, и x 0 — дополнение для x.
  Определим элемент
                             def                 M od
                           y = a t (b u x 0 ) = b u (a t x 0 )                         (2.3)

и покажем, что y — относительное дополнение элемента x в интервале [ a, b ]. Действи-
тельно,

 x u y = x u (b u (x 0 t a)) = (x u b) u (x 0 t a) =
                                              = x u (x 0 t a) = (x u x 0 ) t (x u a) = a ,

и, двойственно,

            x t y = x t (b u (x 0 t a)) = (x t b) u (x t x 0 t a) = b u ι = b .

   Таким образом, в булевой алгебре относительные дополнения определяются легко —
по формуле (2.3). Если на интервале [ a, b ] по (2.3) определить операцию взятия допол-
нения ¯, то АС h [ a, b ], t, u,¯, a, b i оказывается булевой алгеброй. Отметим, что полу-
ченная булева алгебра не будет (за исключением “собственного” случая a = o, b = ι ),
являться подалгеброй исходной алгебры т.к.эти алгебры имеют, например, различные
выделенные элементы.

2.4.2   Булевы идеалы и фильтры
Решётчатые идеалы [фильтры] в булевой алгебре B называют булевыми идеалами
[фильтрами] в B. Для булева идеала в B используют обозначение I P B.
Пример 38. Рассмотрим тотальную алгебру множеств P(M ) над множеством M .

  1. Пусть A ⊆ M . Тогда совокупность всех подмножеств множества M , содержащихся
     в A есть идеал в P(M ), а содержащих A есть фильтр в P(M ).

  2. Пусть M — бесконечное множество. Совокупность P0 (A) всех конечных подмно-
     жеств M есть идеал в P(M ), а совокупность подмножеств, имеющих конечное до-
     полнение до M есть фильтр в P(M ). Фильтр указанного вида называют фильтром
     Фреше.




                                              62