Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 63 стр.

   На булевы идеалы и фильтры переносятся понятия конечнопорождённых, собствен-
ных, несобственных и главных идеалов и фильтров (см. п. 2.2.2). Так, идеалы и фильтры,
описанные в п. 1 предыдущего примера — главные. Идеал и фильтр, описанные в п. 2
предыдущего примера — не главные и даже не конечнопорождённые.
   Справедлива следующая простая

Теорема 2.21. Пусть B — булева алгебра и X ⊆ B. Тогда в B множество
X 0 = { x 0 | x ∈ X } будет идеалом, если X — фильтр в B и фильтром, если X —
идеал в B.

   Булевы идеалы и фильтры связаны с булевыми гомоморфизмами.

Теорема 2.22. Ядро булева гомоморфизма есть идеал. Прообраз единицы булева гомо-
морфизма есть фильтр.

Доказательство. В силу принципа двойственности достаточно доказать только утвер-
ждение относительно идеалов.
   Пусть ϕ — гомоморфизм, определённый на булевой алгебре B, x, y ∈ Ker ϕ и b v x.
Тогда ϕ(x t y) = ϕ(x) t ϕ(y) = o t o = o и ϕ(b) v ϕ(x). Поэтому x t y ∈ Ker ϕ и
b ∈ Ker ϕ, т.е. Ker ϕ P B.

Определение 2.23. Идеал [фильтр] на булевой алгебре называется максимальным, если
он не содержится ни в каком другом собственном идеале [фильтре] на ней.

   Максимальные булевы идеалы и фильтры можно очень просто охарактеризовать.

Теорема 2.23 (О максимальных булевых идеалах и фильтрах). Идеал [фильтр] X бу-
левой алгебры B максимален, если и только если для любого b ∈ B в точности один
из элементов b и b 0 принадлежит X.

Замечание. Идеал или фильтры указанного вида называют простыми. Таким образом,
в булевой алгебре простота и максимальность идеалов и фильтров суть совпадающие
понятия.
Доказательство. По принципу двойственности достаточно доказать данное утвержде-
ние относительно идеалов.
    (⇐) Пусть для любого элемента b булевой алгебры B либо b, либо b 0 содержится
в её идеале X. Рассмотрим Y — идеал в B, строго содержащий X. Для него имеем:
y ∈ Y r X ⇒ y 0 ∈ Y , откуда y t y 0 = ι ∈ Y , т.е. Y = B и идеал X — максимальный.
    (⇒) Пусть X — максимальный идеал в B и элемент b0 ∈ B таков, что ни b0 , ни b0 0
не лежат в X. Тогда Y = { x t b | x ∈ X, b v b0 ∈ B} — идеал, строго содержащий X,
и, в силу максимальности X, совпадающий с B. Значит, существую такие x ∈ X, b ∈ B,
что b v b0 и x t b = b0 . Отсюда в силу b0 0 u b v b0 0 u b0 = o получаем

           b0 0 = b0 0 u b0 0 = b0 0 u (b t x) = (b0 0 u b) t (b0 0 u x) = b0 0 u x .

Таким образом, b0 0 v x, что означает b0 0 ∈ X, т.е. получено противоречие.
   Максимальные фильтры в булевых алгебрах называют ультрафильтрами. Справед-
лива следующая

Теорема 2.24. Каждый собственный фильтр [идеал] булевой алгебры содержится в
некотором максимальном идеале [фильтре].


                                              63