Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 61 стр.

Определение 2.22. Булева алгебра B 0 называется подалгеброй булевой алгебры B,
если B 0 6 B как решётки, имеют общие нули, единицы и дополнение элемента в B 0
совпадает с его дополнением в B.

Пример 37.   1. Булева алгебра P2n логических функций от n переменных является
    подалгеброй алгебры P2 всех логических функций (см. пример 3).

  2. Пусть A ⊆ B. Тогда P(A) P(B), поскольку эти булевы алгебры имеют, напри-
     мер, разные единичные элементы (что влечёт и несовпадение дополнений данного
     подмножества A в P(A) и в P(B) ).
   Непосредственно из определений следует простое

Утверждение 2.5. Пусть ϕ : B1 → B2 — булев гомоморфизм. Тогда

  1. ϕ(o) = o,    ϕ(ι) = ι;

  2. x v y ⇒ ϕ(x) v ϕ(y) для любых x и y из B1 ;

  3. ϕ(B1 ) — булева подалгебра в B2 .

   В булевой алгебре h B, t, u, 0 , o, ι i можно ввести производные операции взаимного
дополнения или вычитания (r ) и симметрической разности (⊕ ):
                          def                    def
                   x r y = x u y0,       x ⊕ y = (x r y) t (y r x) .

При этом оказывается, что x 0 = x ⊕ ι и x t y = x ⊕ y ⊕ xy.
   Рассмотрим булеву алгебру B = h B, t, u, 0 , o, ι i. Образуем на её основе АС
B∗ = h B, ⊕, ·, o, ι i, где ⊕ — симметрическая разность, а · — новое обозначение опера-
ции пересечения. Тогда B∗ является ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей
ι и нулём o, операциями сложения ⊕ и умножения ·, в котором для любого элемента x
имеет место свойство Id t булевой алгебры или, в другой записи, x2 = x.
   Ассоциативно-коммутативное кольцо, обладающие свойством x2 = x называется бу-
левым кольцом. Основным примером булева кольца является кольцо h P(A), ⊕, ∩, ∅, A i,
получаемое указанным способом из тотальной алгебры множеств.
   Таким образом, построенная выше АС B∗ есть булево кольцо с единицей ι. Если же
в некотором булевом кольце R = h R, +, ·, 0, 1 i с единицей 1 и нулём 0 положить

                  x t y = x + y + xy,     x u y = xy       и x0 = x + 1,

то получим булеву алгебру R∗ = h R, t, u, 0 , 0, 1 i. Таким образом, любое булево кольцо
с единицей может быть задано с помощью булевой алгебры и наоборот. При этом, как
легко видеть, B∗∗ = B и R∗∗ = R. Тем самым устанавливается т.н. стоуновская
двойственность между булевыми алгебрами и булевыми кольцами.
   Из теоремы 2.6 следует, что в булевой алгебре можно ввести отношение порядка v
по правилу
                         def                            def
                   x v y = x u y = x или x v y = x t y = y .
Легко показать, что тогда из x v y будут следовать соотношения

                        x u y0 = o,     x0 t y = ι     и    x0 w y0

(последнее соотношение есть закон антиизотонности дополнения).


                                            61