Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

пор нет ни одного явного примера недистрибутивной решётки с единственными допол-
нениями.
Решётка называется полной, если любое подмножество её элементов имеет точные
верхнюю и нижнюю грани (ср. с определением полной булевой алгебры на с. 12). На-
пример, отрезок [ 0, 1 ] с обычным порядком и произвольная алгебра множеств являют-
ся полными решётками. В классе полных решёток проблема Хантингтона до сих пор не
имеет разрешения.
Определение 2.19. Если [ a, b ] — интервал решётки L, x ∈ [ a, b ], и элемент y решётки
L таков, что x u y = a и x t y = b, то y называется относительным дополнением
элемента x в интервале [ a, b ].
Если в некоторой решётке все интервалы суть решётки с дополнениями, то она назы-
вается решёткой с относительными дополнениями.
Легко видеть, что если y — относительное дополнение элемента x в интервале [ a, b ],
то y ∈ [ a, b ] и x, в свою очередь, также будет относительным дополнением элемента y
в интервале [ a, b ].
Пример 33. На рис. 19 изображена диаграмма Хассе решётка с относительными допол-
нениями. Дополнениями элемента b в интервале [e, ι] являются элементы c и d, а эле-
менты a и e служат друг для друга единственными дополнениями в интервале [0, b].
ι
b
c
d
a e
o
Рис. 19: Решётка с относительными дополнениями
2.4 Булевы алгебры (продолжение)
2.4.1 Безатомные булевы алгебры. Булевы гомоморфизмы, кольца и струк-
туры
Определение 2.20. Дистрибутивная решётка с дополнениями называется булевой ал-
геброй.
Согласно утверждению 2.4 в булевой алгебре каждый элемент имеет одно и только
одно дополнение. Нетрудно видеть, что оба определения — данное выше и на с. 4 экви-
валентны.
До сих пор мы рассматривали только атомные булевы алгебры. Приведём примеры
булевых алгебр, не имеющих атомов.
59
пор нет ни одного явного примера недистрибутивной решётки с единственными допол-
нениями.
   Решётка называется полной, если любое подмножество её элементов имеет точные
верхнюю и нижнюю грани (ср. с определением полной булевой алгебры на с. 12). На-
пример, отрезок [ 0, 1 ] с обычным порядком и произвольная алгебра множеств являют-
ся полными решётками. В классе полных решёток проблема Хантингтона до сих пор не
имеет разрешения.

Определение 2.19. Если [ a, b ] — интервал решётки L, x ∈ [ a, b ], и элемент y решётки
L таков, что x u y = a и x t y = b, то y называется относительным дополнением
элемента x в интервале [ a, b ].
   Если в некоторой решётке все интервалы суть решётки с дополнениями, то она назы-
вается решёткой с относительными дополнениями.

   Легко видеть, что если y — относительное дополнение элемента x в интервале [ a, b ],
то y ∈ [ a, b ] и x, в свою очередь, также будет относительным дополнением элемента y
в интервале [ a, b ].
Пример 33. На рис. 19 изображена диаграмма Хассе решётка с относительными допол-
нениями. Дополнениями элемента b в интервале [e, ι] являются элементы c и d, а эле-
менты a и e служат друг для друга единственными дополнениями в интервале [0, b].




                                            [[ι
                                               [
                                      
                                    b [    c     d
                                       [[   
                               
                              a[           e
                                 [[ 
                                      
                                      o


                  Рис. 19: Решётка с относительными дополнениями



2.4     Булевы алгебры (продолжение)
2.4.1   Безатомные булевы алгебры. Булевы гомоморфизмы, кольца и струк-
        туры
Определение 2.20. Дистрибутивная решётка с дополнениями называется булевой ал-
геброй.

   Согласно утверждению 2.4 в булевой алгебре каждый элемент имеет одно и только
одно дополнение. Нетрудно видеть, что оба определения — данное выше и на с. 4 экви-
валентны.
   До сих пор мы рассматривали только атомные булевы алгебры. Приведём примеры
булевых алгебр, не имеющих атомов.


                                          59

Страницы