Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Теорема Биркгофа позволяет представлять элементы любой дистрибутивной решётки
подмножествами некоторого множества A и пользоваться диаграммами Эйлера-Венна.
Из теоремы также вытекает интересное
Следствие. Всякая конечная дистрибутивная решётка вложима в упорядоченную де-
лимостью решётку натуральных чисел.
Доказательство. Из теоремы Биркгофа следует, что конечная дистрибутивная решёт-
ка L вкладывается в булеан P(S) некоторого конечного множества S. С другой сторо-
ны, пример 25.5 показывает, что h P(S), ⊆ i вложима в h N
◦
, ∨, ∧ i. Таким образом, L
вкладывается в h N
◦
, ∨, ∧ i, и, следовательно, в h N, | i.
Покажем, как конечная дистрибутивная решётка L может быть вложена в h N, ∨, ∧ i.
Наименьшему элементу o решётки L сопоставляется число 1, а её атомам p
1
, . . . , p
n
—
первые n простых чисел. Пусть состоялось приписывание всем элементам множества
x
O
r x элемента x решётки L. Если элементу x непосредственно предшествует един-
ственный элемент, которому сопоставлено число k, то сопоставляем x число kp, где
p — первое из ещё не использованных простых чисел. Если элементу x непосредственно
предшествуют несколько элементов, то сопоставляем x наименьшее общее кратное всех
чисел, им соответствующих. Такое сопоставление для решёток из примера 31 и J(P ) из
примера 20 приведён на рис. 18.
210
30 30
6 10 6 15
2 2 3
1 1
a) b)
Рис. 18: Вложения конечных дистрибутивных решёток в решётку h N, | i
2.3.3 Решётки с дополнениями
Определение 2.18. Если в решётке h L, t, u i с универсальными гранями для элемента
x существует элемент y такой, что x u y = o, x t y = ι, то последний называется
дополнением элемента x.
57
   Теорема Биркгофа позволяет представлять элементы любой дистрибутивной решётки
подмножествами некоторого множества A и пользоваться диаграммами Эйлера-Венна.
Из теоремы также вытекает интересное

Следствие. Всякая конечная дистрибутивная решётка вложима в упорядоченную де-
лимостью решётку натуральных чисел.

Доказательство. Из теоремы Биркгофа следует, что конечная дистрибутивная решёт-
ка L вкладывается в булеан P(S) некоторого конечного множества S. С другой сторо-
ны, пример 25.5 показывает, что h P(S), ⊆ i вложима в h N◦ , ∨, ∧ i. Таким образом, L
вкладывается в h N◦ , ∨, ∧ i, и, следовательно, в h N, | i.
   Покажем, как конечная дистрибутивная решётка L может быть вложена в h N, ∨, ∧ i.
Наименьшему элементу o решётки L сопоставляется число 1, а её атомам p1 , . . . , pn —
первые n простых чисел. Пусть состоялось приписывание всем элементам множества
xO r x элемента x решётки L. Если элементу x непосредственно предшествует един-
ственный элемент, которому сопоставлено число k, то сопоставляем x число kp, где
p — первое из ещё не использованных простых чисел. Если элементу x непосредственно
предшествуют несколько элементов, то сопоставляем x наименьшее общее кратное всех
чисел, им соответствующих. Такое сопоставление для решёток из примера 31 и J(P ) из
примера 20 приведён на рис. 18.


                                                          210


                         30   [[                       30 [

                              [                         [[
                                                 
                6 [                  10         6 [            15
                    [[                        [[          
                                                       
                         2                2 [          3
                                              [[ 
                                                  
                         1                        1


                         a)                       b)


        Рис. 18: Вложения конечных дистрибутивных решёток в решётку h N, | i


2.3.3   Решётки с дополнениями
Определение 2.18. Если в решётке h L, t, u i с универсальными гранями для элемента
x существует элемент y такой, что x u y = o, x t y = ι, то последний называется
дополнением элемента x.


                                          57

Страницы