Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 47 стр.

                                     '  $
                                      '$
                                     ¿
                                        x        y
                                     ÁÀ
                                     x t y&%
                                     &     %
                                                      ι

                   Рис. 10: Обозначение объединения элементов решётки

2.3.1     Модулярные решётки
Определение 2.16. Решётка L = h L, t, u i называется модулярной, если для любых
x, y, x ∈ L в ней выполняется следующий модулярный закон

    M od : x v y ⇒ x t (y u z) = y u (x t z) .

   Ясно, что смысл модулярного закона состоит в выполнении следования, обратного
утверждаемому в M od v. Двойственный к модулярному закон

                            x w y ⇒ x u (y t z) = y t (x u z)

ему эквивалентен. Поэтому для модулярных решёток принцип двойственности остается
справедливым.
Пример 26.   1. Модулярными являются все цепи, решётка h N, | i, булевы алгебры и
    их подрешётки. Впоследствии мы увидим, что для этих решёток справедливо более
    сильное условие дистрибутивности.

  2. Решётка N Sub (G) всех нормальных подгрупп группы G образует модулярную
     решётку. Действительно, пусть X, Y, Z — произвольные нормальные подгруппы
     группы G и X ⊆ Y . Известно, что объединение X ∪ Z двух нормальных подгрупп
                                                      def
     X и Z группы G совпадает с их произведением XZ = { g ∈ G | ∃ x ∃ z ( g = xz ) },
                                                                       X   Z
        а пересечение подгрупп всегда есть подгруппа. Поэтому нам нужно показать спра-
        ведливость включения Y ∩ XZ ⊆ X(Z ∩ Y ). В самом деле, всегда найдутся такие
        x ∈ X и z ∈ Z, что

         g ∈ Y ∩ XZ ⇒ g ∈ Y ∧ g = xz ⇒ g = xz ∧ z ∈ Y ∩ Z ⇒ g ∈ X(Z ∩ Y ) .

        Второе следование справедливо, поскольку xz = g влечёт z = x−1 g ∈ Y .
        Модулярные решётки часто называют дедекиндовыми по имени Р. Дедекинда, об-
        наружившего в 1900 г. указанное свойство нормальных подгрупп.

  3. Другим важным примером модулярной решётки является решётка всех подпро-
     странств векторного пространства. Под объединением подпространств понимается
     наименьшее подпространство, их содержащее. Доказательство этого факта полно-
     стью аналогично доказательству модулярности решётки N Sub (G). Точно также
     доказывают, что решётка всех идеалов любого кольца модулярна.
   Решётка всех эквивалентностей на данном множестве в общем случае не моду-
лярна. Действительно, рассмотрим множество M = { 1, 2, 3, 4 }. Среди E(M ) име-
ются эквивалентности a, b и c со смежными классами a = { {1}, {2}, {3, 4} },

                                            47