Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 45 стр.

     где p1 , . . . , pk — различные простые числа, положим ϕ(n) = { ϕ(p1 ), . . . , ϕ(pk ) }.
     Нетрудно проверить, что полученное отображение ϕ есть изоморфизм указанных
     решёток.
   Легко проверяется, что прямое произведение решёток является решёткой. Ясно так-
же, что совокупность Sub(L) подрешёток решётки L является ч.у. множествм (упоря-
доченным по включению).
Определение 2.15. Пусть h L, t, u i — решётка. Подмножество I элементов L назы-
вается решёточным идеалом, если
                x∈I ∧ yvx ⇒ y∈I               и     x, y ∈ I ⇒ x t y ∈ I .
Подмножество F элементов L называется решёточным фильтром, если
               x∈F ∧ xvy ⇒ y∈F                и     x, y ∈ F ⇒ x u y ∈ F .
     Очевидно, идеалы [фильтры] решёток суть их устойчивые относительно операций t
[ u ] порядковые идеалы [фильтры]. Непустое подмножество I [ F ] оказывается идеалом
[фильтром] решётки L, если и только если для любых её элементов x и y справедлива
эквивалентность
                   x, y ∈ I ⇔ x t y ∈ I        [x, y ∈ F ⇔ x u y ∈ F ] .
Легко видеть, что если L — решётка, а I и F — соответственно идеал и фильтр на ней,
то для произвольного её элемента x если y ∈ I, то x u y ∈ I, а если y ∈ F , то x t y ∈ F .
    Сама решётка L всегда будет своим идеалом и фильтром. Все другие идеалы [филь-
тры] L называют собственными. Если L имеет наименьший o [наибольший ι] элемент,
то он будет идеалом [фильтром] L. В случае, когда в решётке нет наименьшего [наи-
большего] элемента, то в число её идеалов [фильтров] договариваются включать пустое
подмножество.
    Если x — элемент решётки, то главные порядковые идеал J(x) = xO и фильтр
F (x) = xM являются, очевидно, также и (главными) решёточными идеалом и фильтром.
В конечной решётке все решёточные идеалы и фильтры — главные. Для бесконечных
решёток это не так. Например, для бесконечного множества A совокупность P0 (A) всех
его конечных подмножеств будет неглавным идеалом в решётке P(A).
    Если ϕ — гомоморфизм решётки L на решётку с нулём [единицей], то полный про-
образ нуля [единицы] является идеалом [фильтром] в L. Такой идеал [фильтр] называет-
ся ядерным. Не всякий идеал [фильтр] является ядерным: например, идеал { o, a, b, e }
решётки, изображённой на рис. 9, ядерным не является.
    Диаграммы Хассе дают удобный способ описания решёток. Однако, если решётка
устроена слишком сложно, такие диаграммы становятся мало наглядными. Следующая
теорема даёт другие возможности представления решёток.
Теорема 2.9. Всякую решётку можно с сохранением всех точных нижних граней вло-
жить в булеан подходящего множества.
Доказательство. Пусть A — произвольная решётка. Рассмотрим отображение ϕ, со-
поставляющее каждому элементу x ∈ A главный идеал J(x) ∈ P(A). Необходимо пока-
зать, что отображение ϕ: (1) взаимнооднозначно, (2) изотонно, (3) обратно изотонно и
(4) сохраняет пересечения. Будем устанавливать свойства ϕ в указанном порядке.
 1) Пусть ϕ(x) = ϕ(y). Так как ϕ(x) = J(x) и всегда, в силу рефлексивности порядка,
    x ∈ J(x), то x ∈ J(y) и y ∈ J(x). Значит одновременно x v y и y v x, т.е., в силу
    антисимметричности, x = y.

                                             45