Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 43 стр.

2.2.2   Основные свойства решёток
Теорема 2.7. Элементы x, y и z любой решётки удовлетворяют следующим нера-
венствам полудистрибутивности

     Dtr1 w : (x t y) u z w (x u z) t (y u z) ;
     Dtr2 v : (x u y) t z v (x t z) u (y t z) ;
и полумодулярности

     M od v :   x v y ⇒ x t (y u z) v y u (x t z) = (x t y) u (x t z) ;
     M od w :   x w y ⇒ x u (y t z) w y t (x u z) = (x u y) t (x u z) .

Доказательство. Имеем
                                             ¾
                       xuz v x v xty
                                                  ⇒ x u z v (x t y) u z
                       xuz v z
и                                           ¾
                      yuz v y v xty
                                                 ⇒ y u x v (x t y) u z .
                      yuz v z
Таким образом (x t y) u z есть верхняя грань для x u z и y u z. Это означает, что

                              (x u z) t (y u z) v (x t y) u z ,

и следование Dtr1 w доказано. Второе неравенство дистрибутивности следует из только
что доказанного по принципу двойственности.
   Неравенства полумодулярности есть частный случай неравенств дистрибутивности.


Определение 2.13. Отображение ϕ решётки L в решётку L0 называется алгебраиче-
ским или решёточным гомоморфизмом, если для любых x, y ∈ L справедливы равен-
ства
             ϕ(x t y) = ϕ(x) t ϕ(y)  и    ϕ(x u y) = ϕ(x) u ϕ(y) ,
что записывают ϕ = Hom (L, L0 ).
   Биективный решёточный гомоморфизм есть решёточный изоморфизм. Изоморфизм
решётки в себя называется автоморфизмом.
   Инъективные и сюръективные решёточные гомоморфизмы называют решёточными
(или алгебраическими) мономорфизмами и эпиморфизмами соответственно.
   Порядковые гомоморфизмы решёток как ч.у. множеств, вообще говоря, не являются
                                      ϕ
алгебраическими: отображение P0 (M ) → N0 , ϕ(X) = |X| являясь изотонным, не сохра-
няет ни одну из решёточных операций. Напротив, алгебраический гомоморфизм решёток
будет и их порядковым гомоморфизмом. Действительно, если ϕ — алгебраический гомо-
морфизм решётки h A, t, u i на некоторую другую решётку, то, поскольку ϕ сохраняет
пересечение, для любых x, y ∈ A имеем

    x v y ⇔ x = xuy        ⇒ ϕ(x) = ϕ(x u y) = ϕ(x) u ϕ(y) ⇔ ϕ(x) v ϕ(y) , (2.1)

и, значит, ϕ изотонно. Аналогично изотонность ϕ следует и из сохранения объединения.
Поэтому можно сказать, что алгебраический гомоморфизм решёток, “сильнее” порядко-
вого.
    В случае изоморфизма проблемы снимаются.

                                             43