Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

◦ ◦ ◦
◦ ◦ ◦ ◦
Z
3
Z
4
◦ ◦
◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
◦ ◦ ◦ ◦
Z
3
× Z
4
Рис. 5: Диаграммы Хассе двух ч.у. множеств и их прямого произведения
Таким образом, порядковые идеалы [фильтры] ч.у. множества суть такие его подмно-
жества, которые вместе с каждым своим элементом a содержат все элементы, предше-
ствующие [следующие за] a. Ясно, то ∅ есть порядковый идеал любого ч.у. множества
множества h P, v i. Если x — элемент ч.у. множества, то x
O
и x
M
являются порядковы-
ми идеалом и фильтром соответственно. Такие идеалы и фильтры называют главными;
мы будем обозначать их J(x) и F (x) соответственно.
Множество всех порядковых идеалов ч.у. множества P , упорядоченное по включению,
образует ч.у. множество, которое мы будем обозначать J(P ). Теорема 2.3 утверждает, что
P
ϕ
→ J(P ) и ϕ(x) = x
O
= J(x).
Антицепь есть подмножество A ч.у. множестве P , в котором все элементы попарно
несравнимы. Например, в ч.у. множестве h N, | i антицепью является произвольное под-
множество взаимно некратных чисел, а в множестве h B
n
, 4 i — совокупности верхних
нулей либо нижних единиц некоторой монотонной булевой функции.
Если h P, v i — конечное ч.у. множество, то существует взаимнооднозначное соот-
ветствие между его анитцепями и порядковыми идеалами. Действительно, с одной сто-
роны, множество M максимальных элементов идеала I есть антицепь, а с другой —
I =
S
a∈M
a
O
. Если некоторое подмножество A ч.у. множества P и его идеал I связа-
ны таким соотношением, то говорят, что A порождает I. В случае A = { a
1
, . . . , a
k
}
пишут I = h a
1
, . . . , a
k
i; например, J(a) = h a i.
Пример 20. На рис. 6 показаны диаграммы Хассе четырёхэлементного ч.у. множества
P и множества его порядковых идеалов J(P ). Каждому порядковому идеалу из J(P )
соответствует антицепь P .
35
                              [[[                 [[ ◦
                              ◦                ◦

                                                   [
                      ◦               ◦        ◦       ◦


                              Z3                      Z4


                                     ◦[
                                 A A   A
                                A AAA [[
                                         A ◦

                            A A
                      ◦[
                        AAA ◦ AAA ◦
                                 A
                          [[ AA AA A   A A ◦           ◦   [[ ◦
                           AA AAAA                           [
                      ◦
                        AA    ◦                        ◦       ◦


                                           Z3 × Z4


       Рис. 5: Диаграммы Хассе двух ч.у. множеств и их прямого произведения

   Таким образом, порядковые идеалы [фильтры] ч.у. множества суть такие его подмно-
жества, которые вместе с каждым своим элементом a содержат все элементы, предше-
ствующие [следующие за] a. Ясно, то ∅ есть порядковый идеал любого ч.у. множества
множества h P, v i. Если x — элемент ч.у. множества, то xO и xM являются порядковы-
ми идеалом и фильтром соответственно. Такие идеалы и фильтры называют главными;
мы будем обозначать их J(x) и F (x) соответственно.
   Множество всех порядковых идеалов ч.у. множества P , упорядоченное по включению,
образует ч.у. множество, которое мы будем обозначать J(P ). Теорема 2.3 утверждает, что
   ϕ
P ,→ J(P ) и ϕ(x) = xO = J(x).
   Антицепь есть подмножество A ч.у. множестве P , в котором все элементы попарно
несравнимы. Например, в ч.у. множестве h N, | i антицепью является произвольное под-
множество взаимно некратных чисел, а в множестве h B n , 4 i — совокупности верхних
нулей либо нижних единиц некоторой монотонной булевой функции.
   Если h P, v i — конечное ч.у. множество, то существует взаимнооднозначное соот-
ветствие между его анитцепями и порядковыми идеалами. Действительно, с одной сто-
роны,S множество M максимальных элементов идеала I есть антицепь, а с другой —
I = a∈M aO . Если некоторое подмножество A ч.у. множества P и его идеал I связа-
ны таким соотношением, то говорят, что A порождает I. В случае A = { a1 , . . . , ak }
пишут I = h a1 , . . . , ak i; например, J(a) = h a i.
Пример 20. На рис. 6 показаны диаграммы Хассе четырёхэлементного ч.у. множества
P и множества его порядковых идеалов J(P ). Каждому порядковому идеалу из J(P )
соответствует антицепь P .




                                          35

Страницы