Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

2. Ч.у. множество h { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, | i имеет следующую диаграмму Хассе:
4 6
2 3 5
1
Здесь 1 — наименьший элемент, 4, 5 и 6 — максимальные, а наибольшего элемента
нет.
3. В ограниченном ч.у. множестве h P(A), ⊆ i наименьшим элементом является пустое
подмножество, ∅, а наибольшим — само множество A.
Будем обозначать через P
∗
(A) совокупность всех непустых подмножеств множе-
ства A. В ч.у. множестве h P
∗
(A), ⊆ i при |A| > 2 нет наименьшего элемента, а
минимальными являются все одноэлементные подмножества.
Будем обозначать через P
0
(A) совокупность всех конечных подмножеств беско-
нечного множества A. В ч.у. множестве h P
0
(A), ⊆ i наименьшим элементом будет
пустое подмножество, а максимальных (следовательно, и наибольшего) элементов
нет.
Если ч.у. множество имеет наименьший элемент, то элементы, непосредственно сле-
дующие за ним называют атомами. Понятно, что таковых может и не оказаться. Данное
определение атома ч.у. множества совпадает с определением 1.4 атома булевой алгебры,
если в ней принять x v y
def
= (x = x u y). Двойственно определяются дуальные атомы
или коатомы: это элементы, непосредственно предшествующие наибольшему элементу
(предполагается, что таковой существует).
Пример 16. В ч.у. множестве h { 0, 1, . . . }, | i наименьшим элементом является 1, наи-
большим — 0, атомы суть простые числа, а коатомы отсутствуют.
Определение 2.4. Пусть h P, v i — ч.у. множество и A ⊆ P . Множества A
M
и A
O
определяемые условиями
A
M
def
=
©
x ∈ P |
∀
A
a ( a v x)
ª
и A
O
def
=
©
x ∈ P |
∀
A
a ( x v a)
ª
называются верхним и нижним конусами множества A , а их элементы — верхними и
нижними гранями множества A соответственно. Верхним и нижним конусами пустого
подмножества элементов P считают само множество P .
Ясно, что любая верхняя грань подмножества A элементов некоторого ч.у. множе-
ства содержит любой из элементов A, и если A имеет наибольший элемент, то он одно-
временно является и наименьшим элементом A
M
. Аналогично для нижних граней.
Теорема 2.2 (Свойства верхнего и нижнего конусов). Верхний и нижний конусы обла-
дают следующими свойствами.
1. A ⊆ B влечёт B
O
⊆ A
O
и B
M
⊆ A
M
.
31
  2. Ч.у. множество h { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, | i имеет следующую диаграмму Хассе:

                              4   [[               [[   6

                                       [[             [[
                                           
                                         2 [
                                                          AAAA
                                                           3    5
                                             [
                                               [[  AA
                                                    AAAA
                                                  1

     Здесь 1 — наименьший элемент, 4, 5 и 6 — максимальные, а наибольшего элемента
     нет.

  3. В ограниченном ч.у. множестве h P(A), ⊆ i наименьшим элементом является пустое
     подмножество, ∅, а наибольшим — само множество A.
     Будем обозначать через P ∗ (A) совокупность всех непустых подмножеств множе-
     ства A. В ч.у. множестве h P ∗ (A), ⊆ i при |A| > 2 нет наименьшего элемента, а
     минимальными являются все одноэлементные подмножества.
     Будем обозначать через P0 (A) совокупность всех конечных подмножеств беско-
     нечного множества A. В ч.у. множестве h P0 (A), ⊆ i наименьшим элементом будет
     пустое подмножество, а максимальных (следовательно, и наибольшего) элементов
     нет.
   Если ч.у. множество имеет наименьший элемент, то элементы, непосредственно сле-
дующие за ним называют атомами. Понятно, что таковых может и не оказаться. Данное
определение атома ч.у. множества совпадает с определением 1.4 атома булевой алгебры,
                          def
если в ней принять x v y = (x = x u y). Двойственно определяются дуальные атомы
или коатомы: это элементы, непосредственно предшествующие наибольшему элементу
(предполагается, что таковой существует).
Пример 16. В ч.у. множестве h { 0, 1, . . . }, | i наименьшим элементом является 1, наи-
большим — 0, атомы суть простые числа, а коатомы отсутствуют.

Определение 2.4. Пусть h P, v i — ч.у. множество и A ⊆ P . Множества AM и AO
определяемые условиями
               def   ©                          ª            def   ©                          ª
           AM =          x ∈ P | ∀ a ( a v x)       и AO =             x ∈ P | ∀ a ( x v a)
                                  A                                             A

называются верхним и нижним конусами множества A , а их элементы — верхними и
нижними гранями множества A соответственно. Верхним и нижним конусами пустого
подмножества элементов P считают само множество P .

   Ясно, что любая верхняя грань подмножества A элементов некоторого ч.у. множе-
ства содержит любой из элементов A, и если A имеет наибольший элемент, то он одно-
временно является и наименьшим элементом AM . Аналогично для нижних граней.

Теорема 2.2 (Свойства верхнего и нижнего конусов). Верхний и нижний конусы обла-
дают следующими свойствами.

  1. A ⊆ B влечёт B O ⊆ AO и B M ⊆ AM .

                                                    31

Страницы