Задачи по аналитической геометрии. Часть II. Игудесман К.Б. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

[a, b] a ×b
[a, b]
[a, b] = 0
[
a
,
b
] =
−
[
b
,
a
]
[(λa), b] = λ[a, b]
[a + b, c] = [a, c] + [b, c]
[a, [b, c]] = b(ac) − c(ab)
[[a, b], c] = b(ac) − a(bc)
[a, b] [c, d] = (ac)(bd) − (ad)(bc)
a = {X, Y, Z}, b = {X
0
, Y
0
, Z
0
}
[a, b] =
(
¯
¯
¯
¯
¯
Y Z
Y
0
Z
0
¯
¯
¯
¯
¯
,
¯
¯
¯
¯
¯
Z X
Z
0
X
0
¯
¯
¯
¯
¯
,
¯
¯
¯
¯
¯
X Y
X
0
Y
0
¯
¯
¯
¯
¯
)
.
1 Âåêòîðíîå è ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ

Âåêòîðíûì ïðîèçâåäåíèåì [a, b] (èëè a × b) âåêòîðà a íà âåêòîð b (â
ñëó÷àå, åñëè âåêòîðû a è b íå êîëëèíåàðíû) íàçûâàåòñÿ âåêòîð, ìî-
äóëü êîòîðîãî ðàâåí ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà, ñòîðîíàìè êîòîðîãî
ÿâëÿþòñÿ âåêòîðû a è b, îòëîæåííûå îò îäíîé è òîé æå òî÷êè, îðòî-
ãîíàëüíûé âåêòîðàì a è b, è íàïðàâëåííûé òàê, ÷òî óïîðÿäî÷åííàÿ
òðîéêà âåêòîðîâ a, b, [a, b] îäèíàêîâî îðèåíòèðîâàíà ñ òðîéêîé âåê-
òîðîâ i, j, k íåêîòîðîãî îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà. Åñëè âåêòîðû a
è b êîëëèíåàðíû, òî [a, b] = 0 ïî îïðåäåëåíèþ.
     Ñâîéñòâà âåêòîðîíîãî ïðîèçâåäåíèÿ:

 1. [a, b] = −[b, a].

 2. [(λa), b] = λ[a, b].

 3. [a + b, c] = [a, c] + [b, c].

 4. [a, [b, c]] = b(ac) − c(ab).

 5. [[a, b], c] = b(ac) − a(bc).

 6. [a, b] [c, d] = (ac)(bd) − (ad)(bc).

     Åñëè â îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå a = {X, Y, Z}, b = {X 0 , Y 0 , Z 0 },
òî                    (¯        ¯ ¯          ¯    ¯        ¯)
                       ¯ Y Z ¯ ¯ Z X         ¯    ¯ X Y    ¯
                       ¯        ¯ ¯          ¯    ¯        ¯
              [a, b] = ¯        ¯, ¯         ¯,   ¯ 0      ¯ .
                       ¯ Y 0 Z0 ¯ ¯ Z0 X0    ¯    ¯ X Y0   ¯
     Ñìåøàííûì ïðîèçâåäåíèåì (a,b,c) òðåõ íåêîìïëàíàðíûõ âåêòîðîâ
a, b, c íàçûâàåòñÿ ÷èñëî, àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà êîòîðîãî ðàâíà îáúåìó
ïàðàëëåïèïåäà, ðåáðàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ýòè âåêòîðû, îòëîæåííûå
îò îäíîé è òîé æå òî÷êè; ýòî ÷èñëî ïîëîæèòåëüíîå, åñëè óïîðÿäî÷åí-
íàÿ òðîéêà a, b, c îäèíàêîâî îðèåíòèðîâàíà ñ îðòîíîðìèðîâàííûì



                                      4

Страницы