ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
степени 1. Покажем, что других неприводимых многочленов над полем
R не существует.
Лемма 6.17 Пусть f ∈ R[X] и c = α + iβ — его комплексный корень.
Тогда ¯c = α −iβ — тоже корень f .
Доказательство. Пусть f = a
0
X
n
+ a
1
X
n−1
+ ···+ a
n−1
X + a
n
. Согласно
свойствам операции комплексного сопряжения с учетом вещественности
коэффициентов многочлена f имеем:
0 =
¯
0 = f(c) = a
0
¯c
n
+ a
1
¯c
n−1
+ ··· + a
n−1
¯c + a
n
= f(¯c).C
Предложение 6.18 Если f ∈ R[X] неприводим, то либо deg f = 1,
либо f — многочлен степени 2, не имеющий вещественных корней.
Доказательство. Ясно, что если f имеет вещественный корень c, то
неприводимым он может быть только в случае ассоциированности с
многочленом X − c, следовательно, deg f = 1.
Таким образом, остается рассмотреть случай, когда вещественных
корней у f нет. Очевидно, тогда deg f ≥ 2. Поскольку R ⊂ C, на f
можно смотреть, как на многочлен над полем C, следовательно, у f
есть комплексный корень c = α + iβ (β 6= 0). Применяя лемму 6.17,
получаем, что ¯c = α −iβ также является корнем f . В силу теоремы Безу
f делится на X −c и на X −¯c, а ввиду взаимной простоты этих линейных
многочленов, f делится на их произведение. Но g = (X − c)(X − ¯c) =
(X − α − iβ)(X − α + iβ) = X
2
− 2αX + (α
2
+ β
2
) — многочлен
с вещественными коэффициентами, поэтому из неприводимости f и
условия g | f вытекает ассоциированность f и g.C
66
степени 1. Покажем, что других неприводимых многочленов над полем
R не существует.
Лемма 6.17 Пусть f ∈ R[X] и c = α + iβ — его комплексный корень.
Тогда c̄ = α − iβ — тоже корень f .
Доказательство. Пусть f = a0 X n + a1 X n−1 + · · · + an−1 X + an . Согласно
свойствам операции комплексного сопряжения с учетом вещественности
коэффициентов многочлена f имеем:
0 = 0̄ = f (c) = a0 c̄n + a1 c̄n−1 + · · · + an−1 c̄ + an = f (c̄).C
Предложение 6.18 Если f ∈ R[X] неприводим, то либо deg f = 1,
либо f — многочлен степени 2, не имеющий вещественных корней.
Доказательство. Ясно, что если f имеет вещественный корень c, то
неприводимым он может быть только в случае ассоциированности с
многочленом X − c, следовательно, deg f = 1.
Таким образом, остается рассмотреть случай, когда вещественных
корней у f нет. Очевидно, тогда deg f ≥ 2. Поскольку R ⊂ C, на f
можно смотреть, как на многочлен над полем C, следовательно, у f
есть комплексный корень c = α + iβ (β 6= 0). Применяя лемму 6.17,
получаем, что c̄ = α − iβ также является корнем f . В силу теоремы Безу
f делится на X −c и на X − c̄, а ввиду взаимной простоты этих линейных
многочленов, f делится на их произведение. Но g = (X − c)(X − c̄) =
(X − α − iβ)(X − α + iβ) = X 2 − 2αX + (α2 + β 2 ) — многочлен
с вещественными коэффициентами, поэтому из неприводимости f и
условия g | f вытекает ассоциированность f и g .C
66
