ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
h =
f
НОД (f, f
0
)
= p
1
. . . p
r
,
причем для нахождения h не обязательно знать исходные разложения f
и f
0
, достаточно лишь использовать алгоритм Евклида.
6.8 Неприводимые многочлены над полями R и C
Вопрос о строении неприводимых многочленов с комплексными
коэффициентами легко решается с помощью следующей теоремы, долгое
время носившей название основной теоремы алгебры. Мы не будем
приводить ее доказательство, поскольку оно опирается на некоторые
факты теории функций комплексного переменного. (Желающие могут
ознакомиться с ним, например, по книге [1], гл. 6.)
Теорема 6.14 Любой многочлен f ∈ C[X] (deg f ≥ 1) имеет корень в
C.C
Следствие 6.15 Многочлен f ∈ C[X] неприводим ⇔ deg f = 1.
Доказательство. (⇐) : Неприводимость многочленов степени 1 над
произвольным полем была доказана ранее (см. п. 6.3 “Делимость в кольце
многочленов”).
(⇒) : Пусть f — комплексный многочлен и deg f ≥ 1. Согласно
предыдущей теореме у f есть корень c, следовательно, по теореме Безу
f = (X − c)g для некоторого g ∈ C[X]. С учетом неприводимости f
последнее возможно только при deg g = 0, откуда deg f = 1.C
Следствие 6.16 Количество корней комплексного многочлена f (с
учетом их кратностей) равно степени многочлена f .
Доказательство. Разложим f на неприводимые множители: f =
p
k
1
1
. . . p
k
r
r
. В силу следствия 6.15 имеем deg p
i
= 1 для всех i, так
что каждый многочлен p
i
отвечает некоторому корню c
i
кратности k
i
(i = 1, . . . , r) и deg f = k
1
+ ··· + k
r
.C
Перейдем теперь к изучению неприводимых многочленов с
вещественными коэффициентами. Разумеется, таковыми будут все
многочлены 1-й степени. Кроме того, неприводимым будет любой
многочлен 2-й степени вида f = aX
2
+bX +c, где b
2
−4ac < 0, поскольку
в этом случае уравнение f(x) = 0 не имеет вещественных корней и,
следовательно, f невозможно разложить в произведение многочленов
65
f
h= = p1 . . . p r ,
НОД (f, f 0 )
причем для нахождения h не обязательно знать исходные разложения f
и f 0 , достаточно лишь использовать алгоритм Евклида.
6.8 Неприводимые многочлены над полями R и C
Вопрос о строении неприводимых многочленов с комплексными
коэффициентами легко решается с помощью следующей теоремы, долгое
время носившей название основной теоремы алгебры. Мы не будем
приводить ее доказательство, поскольку оно опирается на некоторые
факты теории функций комплексного переменного. (Желающие могут
ознакомиться с ним, например, по книге [1], гл. 6.)
Теорема 6.14 Любой многочлен f ∈ C[X] (deg f ≥ 1) имеет корень в
C.C
Следствие 6.15 Многочлен f ∈ C[X] неприводим ⇔ deg f = 1.
Доказательство. (⇐) : Неприводимость многочленов степени 1 над
произвольным полем была доказана ранее (см. п. 6.3 “Делимость в кольце
многочленов”).
(⇒) : Пусть f — комплексный многочлен и deg f ≥ 1. Согласно
предыдущей теореме у f есть корень c, следовательно, по теореме Безу
f = (X − c)g для некоторого g ∈ C[X]. С учетом неприводимости f
последнее возможно только при deg g = 0, откуда deg f = 1.C
Следствие 6.16 Количество корней комплексного многочлена f (с
учетом их кратностей) равно степени многочлена f .
Доказательство. Разложим f на неприводимые множители: f =
pk11 . . . pkr r . В силу следствия 6.15 имеем deg pi = 1 для всех i, так
что каждый многочлен pi отвечает некоторому корню ci кратности ki
(i = 1, . . . , r ) и deg f = k1 + · · · + kr .C
Перейдем теперь к изучению неприводимых многочленов с
вещественными коэффициентами. Разумеется, таковыми будут все
многочлены 1-й степени. Кроме того, неприводимым будет любой
многочлен 2-й степени вида f = aX 2 +bX +c, где b2 −4ac < 0, поскольку
в этом случае уравнение f (x) = 0 не имеет вещественных корней и,
следовательно, f невозможно разложить в произведение многочленов
65
