Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

где v(c
r
) 6= 0 по выбору v и v(c
i
) 6= 0 при i = 1, . . . , r − 1, поскольку
v | h, а h(c
i
) 6= 0 для всех i = 1, . . . , r −1.
Наконец, deg f = k
1
+ ··· + k
r
+ deg v ≥ k
1
+ ··· + k
r
.C
Следствие 6.10 Пусть f, g ∈ K[X], deg f , deg g ≤ n. Если
существуют различные элементы c
0
, c
1
, . . . , c
n
∈ K такие, что
f(c
i
) = g(c
i
) для всех i = 0, 1, . . . , n, то f = g.
Доказательство. Обозначим f − g через h. Тогда deg h ≤
max(deg f, deg g) ≤ n и h(c
i
) = f(c
i
) − g(c
i
) = 0 (i = 0, 1, . . . , n),
то есть, многочлен h степени не выше n имеет n + 1 корней. В силу
второй части утверждения теоремы 6.9 это возможно только при h = 0.
Следовательно, f = g.C
6.7 Производная многочлена
Пусть f ∈ K[X], f = a
0
X
n
+a
1
X
n−1
+···+a
n−1
X +a
n
. Производной
многочлена f называется многочлен
f
0
= na
0
X
n−1
+ (n − 1)a
1
X
n−2
+ ··· + a
n−1
.
Замечание. В произвольном поле K выражение na для n ∈ N и a ∈ K
понимается как сумма n одинаковых слагаемых: a + ··· + a.
Свойства:
1. (αf + βg)
0
= αf
0
+ βg
0
для всех α, β ∈ K и f, g ∈ K[X].
2. (fg)
0
= f
0
g + fg
0
для всех f, g ∈ K[X].
3. (f
k
)
0
= kf
k−1
f
0
.
Доказательство. Свойство 1 очевидно. Справедливость свойства 2 ввиду
свойства 1 достаточно установить для многочленов вида f = X
n
, g = X
m
(n, m ≥ 1). Имеем:
(fg)
0
= (X
n+m
)
0
= (n+m)X
n+m−1
= nX
n−1
X
m
+X
n
(mX
m−1
) = f
0
g +fg
0
.
Свойство 3 с учетом свойства 2 легко доказывается индукцией по k .C
В дальнейшем будем считать, что K — одно из полей Q, R или C.
Заметим, что в этом случае deg f
0
= deg f − 1.
Ранее было доказано (см. теорему 6.8), что кольцо K[X] факто-
риально, следовательно, для ненулевого многочлена f ∈ K[X] сущест-
вует разложение на неприводимые множители: f = p
k
1
1
. . . p
k
r
r
. Непри-
водимые многочлены p
i
, (i = 1, . . . , r), будем называть k
i
-кратными
63
где v(cr ) 6= 0 по выбору v и v(ci ) 6= 0 при i = 1, . . . , r − 1, поскольку
v | h, а h(ci ) 6= 0 для всех i = 1, . . . , r − 1.
       Наконец, deg f = k1 + · · · + kr + deg v ≥ k1 + · · · + kr .C
Следствие 6.10 Пусть f, g ∈ K[X], deg f , deg g ≤ n. Если
существуют различные элементы c0 , c1 , . . . , cn ∈ K такие, что
f (ci ) = g(ci ) для всех i = 0, 1, . . . , n, то f = g .
Доказательство. Обозначим f − g через h. Тогда deg h                      ≤
max(deg f, deg g) ≤ n и h(ci ) = f (ci ) − g(ci ) = 0 (i = 0, 1, . . . , n),
то есть, многочлен h степени не выше n имеет n + 1 корней. В силу
второй части утверждения теоремы 6.9 это возможно только при h = 0.
Следовательно, f = g .C

                      6.7 Производная многочлена

     Пусть f ∈ K[X], f = a0 X n +a1 X n−1 +· · ·+an−1 X +an . Производной
многочлена f называется многочлен
                f 0 = na0 X n−1 + (n − 1)a1 X n−2 + · · · + an−1 .
Замечание. В произвольном поле K выражение na для n ∈ N и a ∈ K
понимается как сумма n одинаковых слагаемых: a + · · · + a.
     Свойства:
     1. (αf + βg)0 = αf 0 + βg 0 для всех α, β ∈ K и f, g ∈ K[X].
     2. (f g)0 = f 0 g + f g 0 для всех f, g ∈ K[X].
     3. (f k )0 = kf k−1 f 0 .
Доказательство. Свойство 1 очевидно. Справедливость свойства 2 ввиду
свойства 1 достаточно установить для многочленов вида f = X n , g = X m
(n, m ≥ 1). Имеем:
(f g)0 = (X n+m )0 = (n + m)X n+m−1 = nX n−1 X m + X n (mX m−1 ) = f 0 g + f g 0 .
Свойство 3 с учетом свойства 2 легко доказывается индукцией по k .C
     В дальнейшем будем считать, что K — одно из полей Q, R или C.
Заметим, что в этом случае deg f 0 = deg f − 1.
     Ранее было доказано (см. теорему 6.8), что кольцо K[X] факто-
риально, следовательно, для ненулевого многочлена f ∈ K[X] сущест-
вует разложение на неприводимые множители: f = pk11 . . . pkr r . Непри-
водимые многочлены pi , (i = 1, . . . , r), будем называть ki -кратными

                                       63

Страницы