Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

6.6 Корни многочленов
Пусть f ∈ K[X], f = a
0
X
n
+ a
1
X
n−1
+ ··· + a
n−1
X + a
n
.
Многочлену f отвечает функция, действующая из K в K по правилу:
c 7→ a
0
c
n
+ a
1
c
n−1
+ ··· + a
n−1
c + a
n
. Ее значение на элементе c ∈ K
обозначается через f(c) и называется значением многочлена f в точке c.
Следует подчеркнуть принципиальное различие алгебраической
и функциональной точек зрения на многочлены, поскольку для
некоторых полей разным многочленам может отвечать одна и та же
функция. Однако, для многих полей, в том числе, для полей Q, R, C,
соответствие между многочленами и отвечающими им функциями
является биективным. (Подробнее см. [1], гл. 5, 6.)
Говорят, что элемент c ∈ K является корнем многочлена f ∈ K[X],
если f(c ) = 0. Элемент c ∈ K называют также корнем уравнения
f(x) = 0.
Теорема (Безу) c ∈ K — корень многочлена f ∈ K[X] ⇔ (X −c) | f .
Доказательство. Поделим f с остатком на X − c:
f = (X − c)q + r,
где deg r < deg(X − c) = 1, следовательно, r ∈ K .
(⇒) : Пусть c — корень. Тогда 0 = f(c) = (c − c)q(c) + r =
0·q(c) + r = r, так что r = 0 и, следовательно, (X − c) | f .
(⇐) : Если (X − c) | f , то f = (X − c)q для некоторого q ∈ K[X].
Тогда f(c) = 0·q(c) = 0, то есть, c — корень.C
Замечание. f(c) = r, то есть, значение многочлена f на элементе c
равно остатку от деления f на X − c.
Существует алгоритм “быстрого” деления f на X −c, известный как
схема Горнера. Он состоит в следующем: пусть f = a
0
X
n
+a
n−1
X
n−1
+
···+a
n−1
X+a
0
, q = b
0
X
n−1
+b
1
X
n−2
+···+b
n−2
X+b
n−1
и f = (X−c)q+r,
тогда b
0
= a
0
, b
k
= a
k
+ b
k−1
c при k = 1, 2, . . . , n −1, r = a
n
+ b
n−1
c. Эти
вычисления удобно записывать в виде таблицы:
a
0
a
1
. . . a
n−1
a
n
c b
0
= a
0
b
1
= a
1
+ b
0
c . . . b
n−1
= a
n−1
+ b
n−2
c r = a
n
+ b
n−1
c
Заполняется таблица так: в верхней строке (кроме первой ячейки)
записываются коэффициенты многочлена f , в первой ячейке нижней
61
                         6.6 Корни многочленов
      Пусть f ∈ K[X], f = a0 X n + a1 X n−1 + · · · + an−1 X + an .
Многочлену f отвечает функция, действующая из K в K по правилу:
c 7→ a0 cn + a1 cn−1 + · · · + an−1 c + an . Ее значение на элементе c ∈ K
обозначается через f (c) и называется значением многочлена f в точке c.
Следует подчеркнуть принципиальное различие алгебраической
и функциональной точек зрения на многочлены, поскольку для
некоторых полей разным многочленам может отвечать одна и та же
функция. Однако, для многих полей, в том числе, для полей Q, R, C,
соответствие между многочленами и отвечающими им функциями
является биективным. (Подробнее см. [1], гл. 5, 6.)
      Говорят, что элемент c ∈ K является корнем многочлена f ∈ K[X],
если f (c) = 0. Элемент c ∈ K называют также корнем уравнения
f (x) = 0.
Теорема (Безу) c ∈ K — корень многочлена f ∈ K[X] ⇔ (X − c) | f .
Доказательство. Поделим f с остатком на X − c:
                               f = (X − c)q + r,
где deg r < deg(X − c) = 1, следовательно, r ∈ K .
      (⇒) : Пусть c — корень. Тогда 0 = f (c) = (c − c)q(c) + r =
0·q(c) + r = r , так что r = 0 и, следовательно, (X − c) | f .
      (⇐) : Если (X − c) | f , то f = (X − c)q для некоторого q ∈ K[X].
Тогда f (c) = 0·q(c) = 0, то есть, c — корень.C
Замечание. f (c) = r , то есть, значение многочлена f на элементе c
равно остатку от деления f на X − c.
       Существует алгоритм “быстрого” деления f на X −c, известный как
схема Горнера. Он состоит в следующем: пусть f = a0 X n +an−1 X n−1 +
· · ·+an−1 X +a0 , q = b0 X n−1 +b1 X n−2 +· · ·+bn−2 X +bn−1 и f = (X −c)q+r ,
тогда b0 = a0 , bk = ak + bk−1 c при k = 1, 2, . . . , n − 1, r = an + bn−1 c. Эти
вычисления удобно записывать в виде таблицы:
       a0      a1             . . . an−1                 an
     c b0 = a0 b1 = a1 + b0 c . . . bn−1 = an−1 + bn−2 c r = an + bn−1 c
Заполняется таблица так: в верхней строке (кроме первой ячейки)
записываются коэффициенты многочлена f , в первой ячейке нижней

                                       61

Страницы