Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Замечание. Из присутствующего в формулировке теоремы 6.6 условия
о делимости простым элементом одного из двух сомножителей вытекает
справедливость аналогичного условия для любого конечного числа
сомножителей: если p ∈ R — прост и p |
k
Q
i=1
a
k
, то p | a
i
для некоторого
i. Доказательство является несложным упражнением на применение
метода математической индукции.
Доказательство теоремы. (⇒) : Пусть R факториально и простой эле-
мент p ∈ R делит ab, то есть, ab = pc для некоторого c ∈ R. Раз-
ложим элементы a, b, c на простые множители: a = u
Q
i
a
i
, b = v
Q
j
b
i
,
c = w
Q
k
c
k
. Тогда (uv)
Q
i
a
i
Q
j
b
j
= ab = wp
Q
k
c
k
, откуда ввиду фак-
ториальности R вытекает ассоциированность p с одним из простых
множителей a
i
или b
j
. Следовательно, p | a или p | b.
(⇐) : Докажем единственность разложения вида (∗). Применим
метод математической индукции по количеству n участвующих в
разложении простых сомножителей.
При n = 0 утверждение очевидно.
Предположим, что для всех элементов кольца, допускающих
разложение с менее, чем n простыми сомножителями, единственность
разложения уже доказана. Пусть a 6= 0 и
a = u
n
Y
i=1
p
i
= v
m
Y
j=1
q
j
,
где все множители p
i
, q
j
— простые и m ≥ n. В частности, p
n
прост
и p
n
| v
m
Q
j=1
q
j
. Следовательно, элемент p
n
делит некоторый множитель
q
j
и поэтому, в силу простоты q
j
, ассоциирован с ним, то есть, q
j
=
wp
n
для некоторого обратимого w. Перенумеровав при необходимости
сомножители второго разложения, можно считать, что j = m. Сократив
на p
n
, получаем
u
n−1
Y
i=1
p
i
= (vw)
m−1
Y
j=1
q
j
.
Количество простых сомножителей в левой части последнего равенства
меньше n, следовательно, по предположению индукции n − 1 = m − 1,
то есть, n = m и, при подходящей нумерации, p
i
ассоциирован с q
i
для
59
Замечание. Из присутствующего в формулировке теоремы 6.6 условия
о делимости простым элементом одного из двух сомножителей вытекает
справедливость аналогичного условия для любого конечного числа
                                       Q
                                       k
сомножителей: если p ∈ R — прост и p |   ak , то p | ai для некоторого
                                                 i=1
i. Доказательство является несложным упражнением на применение
метода математической индукции.
Доказательство теоремы. (⇒) : Пусть R факториально и простой эле-
мент p ∈ R делит ab, то есть, ab = pc для некоторого c ∈ R. Раз-
                                                  Q          Q
ложим элементы a, b, c на простые множители: a = u ai , b = v bi ,
      Q                Q Q                 Q      i          j
c = w ck . Тогда (uv) ai bj = ab = wp ck , откуда ввиду фак-
       k                i     j                               k
ториальности R вытекает ассоциированность p с одним из простых
множителей ai или bj . Следовательно, p | a или p | b.
     (⇐) : Докажем единственность разложения вида (∗). Применим
метод математической индукции по количеству n участвующих в
разложении простых сомножителей.
     При n = 0 утверждение очевидно.
     Предположим, что для всех элементов кольца, допускающих
разложение с менее, чем n простыми сомножителями, единственность
разложения уже доказана. Пусть a 6= 0 и
                                  n
                                  Y              m
                                                 Y
                        a=u             pi = v         qj ,
                                  i=1            j=1

где все множители pi , qj — простые и m ≥ n. В частности, pn прост
         Q
         m
и pn | v   qj . Следовательно, элемент pn делит некоторый множитель
           j=1
qj и поэтому, в силу простоты qj , ассоциирован с ним, то есть, qj =
wpn для некоторого обратимого w . Перенумеровав при необходимости
сомножители второго разложения, можно считать, что j = m. Сократив
на pn , получаем
                          n−1
                          Y             m−1
                                        Y
                        u     pi = (vw)     qj .
                            i=1                  j=1

Количество простых сомножителей в левой части последнего равенства
меньше n, следовательно, по предположению индукции n − 1 = m − 1,
то есть, n = m и, при подходящей нумерации, pi ассоциирован с qi для

                                        59

Страницы