Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 60 стр.

Теорема 6.4 В кольце K[X] любые многочлены a и b имеют НОД и
НОК, причем существуют многочлены u, v ∈ K[X] такие, что

                            НОД (a, b) = ua + vb.

В частности, a и b взаимно просты ⇔ ua + vb = 1 для некоторых
u, v ∈ K[X].C
Следствие 6.5 Для всех a, b, c ∈ K[X] справедливы импликации:
    1. НОД (a, b) = 1, НОД (a, c) = 1 ⇒ НОД (a, bc) = 1.
    2. a | bc, НОД (a, b) = 1 ⇒ a | c.
    3. b | a, c | a, НОД (b, c) = 1 ⇒ bc | a.
Доказательство. 1. Согласно теореме 6.4 имеем: u1 a + v1 b = 1,
u2 a + v2 c = 1. Тогда 1 = (u1 a+v1 b)(u2 a+v2 c) = (u1 u2 a+u1 v2 c+v1 u2 b)a+
(v1 v2 )bc, следовательно, НОД (a, bc) = 1.
        2. Если a | bc, НОД (a, b) = 1, то bc = aw , ua + vb = 1 для
некоторых u, v, w ∈ K[X]. Тогда c = c(ua+vb) = acu+bcv = acu+awv =
a(cu + wv), откуда a | c.
        3. Так как b | a и c | a, то НОК (b, c) | a. Поэтому с учетом
равенства НОД (b, c) = 1 и предложения 6.3 получаем НОК (b, c) =
НОК (b, c)НОД (b, c) = bc, следовательно, bc | a.C

                  6.5 Факториальность кольца K[X]

      Пусть R — целостное кольцо. Говорят, что R — факториально или
является кольцом с однозначным разложением на простые множители,
если для любого a ∈ R (a 6= 0), существуют обратимый элемент u ∈ R и
(не обязательно различные) простые элементы p1 , . . . , pr ∈ R такие, что

                                a = up1 . . . pr ,                         (∗)

причем если a = wq1 . . . qs — еще одно разложение вида (∗), то s = r и
при подходящей нумерации qi ассоциирован с pi для всех i.
Замечание. Допуская случай r = 0, можно считать, что обратимые
элементы тоже обладают представлением вида (∗).
Теорема 6.6 Кольцо R с разложением на простые множители
факториально тогда и только тогда, когда для всех a, b ∈ R и для
любого простого p ∈ R из того, что p | ab вытекает p | a или p | b.

                                       58