Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 62 стр.

всех i.C
Лемма 6.7 Каждый ненулевой многочлен кольца K[X] обладает
разложением на простые множители.
Доказательство. Установим существование разложения вида (∗) для
ненулевого многочлена a ∈ K[X], воспользовавшись методом матема-
тической индукции по степени n многочлена.
      Для многочленов нулевой степени, то есть, обратимых элементов
кольца K[X], утверждение тривиально верно.
      Пусть утверждение уже доказано для всех многочленов степени,
меньшей n. Если a прост, то доказывать нечего, в противном случае
a = bc для некоторых необратимых b, c ∈ K[X]. Тогда deg a =
deg b + deg c, откуда 1 ≤ deg b, deg c < deg a = n, следовательно, в
силу предположения индукции b и c обладают разложением вида (∗),
значит, таким разложением обладает и bc = a.C
Теорема 6.8 Кольцо K[X] факториально.
Доказательство. В силу леммы 6.7 и теоремы 6.6 достаточно показать,
что для любого неприводимого многочлена p ∈ K[X] верна импликация
p | ab ⇒ p | a или p | b. Справедливость данной импликации при a = 0
или b = 0 очевидна, поэтому можно считать, что ab 6= 0.
      Обозначим НОД многочленов a и p через d. Так как p неприводим,
то либо d = p, либо d = 1. В первом случае p = d = НОД (p, a) | a. Во
втором случае согласно п.2 следствия 6.5 из p | ab и НОД (p, a) = d = 1
вытекает p | b.C
      Из факториальности кольца K[X] следует, что любые два
ненулевых многочлена a, b ∈ K[X] обладают “общим” разложением

                    a = upk11 . . . pkr r ,    b = vpl11 . . . plrr ,

где некоторые неприводимые сомножители могут присутствовать с
нулевыми степенями. Нетрудно убедиться в справедливости следующих
утверждений (докажите их в качестве упражнения):
     1. a | b ⇔ ki ≤ li для всех i.
     2. НОД (a, b) = ps11 . . . psrr , где si = min(ki , li ) для всех i.
     3. НОК (a, b) = pt11 . . . ptrr , где ti = max(ki , li ) для всех i.


                                          60