Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

строки пишется элемент c, в следующей ячейке — a
0
, а все последующие
ячейки заполняются слева направо по правилу: к содержимому верхней
ячейки прибавляется содержимое предыдущей (левой) ячейки,
умноженное предварительно на c. Корректность данного алгоритма
легко установить, подставив выражения для коэффициентов многочлена
q и остатка r в равенство f = (X − c)q + r (проверьте это в качестве
упражнения(!)).
Элемент c ∈ K называется k -кратным корнем многочлена f ∈
K[X], если (X − c)
k
| f и (X − c)
k+1
- f . В частности, при k = 1 корень
называется простым, при k = 2 — двойным, при k = 3 — тройным и
так далее. Таким образом, c ∈ K есть k -кратный корень многочлена f
тогда и только тогда, когда f = (X − c)
k
g, где НОД (X − c, g) = 1, то
есть, g(c) 6= 0. Отметим, что при этом deg f = k + deg g.
Теорема 6.9 Пусть f ∈ K[X], deg f > 0 и c
1
, . . . , c
r
— корни f
кратностей k
1
, . . . , k
r
. Тогда найдется g ∈ K[X] такой, что
f = (X −c
1
)
k
1
. . . (X − c
r
)
k
r
g, где g(c
i
) 6= 0 (i = 1, . . . , r).
В частности, k
1
+ ···+ k
r
≤ deg f , то есть, сумма кратностей корней
ненулевого многочлена не превосходит его степени.
Доказательство проведем индукцией по r. При r = 1 доказывать нечего,
так как утверждение совпадает с определением k
1
-кратного корня.
Предположим, что утверждение уже доказано для r −1 корней, то
есть, существует h ∈ K[X] такой, что f = (X − c
1
)
k
1
. . . (X − c
r−1
)
k
r−1
h
и h(c
i
) 6= 0 при i = 1 , . . . , r − 1. Так как c
r
− c
i
6= 0 при i < r , то
(c
r
− c
1
)
k
1
. . . (c
r
− c
r−1
)
k
r−1
6= 0, но c
r
— корень f , поэтому 0 = f(c
r
) =
(c
r
− c
1
)
k
1
. . . (c
r
− c
r−1
)
k
r−1
h(c
r
) влечет h(c
r
) = 0, то есть, c
r
— корень h
некоторой кратности s. Следовательно, h = ( X − c
r
)
s
v, v(c
r
) 6= 0, для
подходящего v ∈ K[X]. Ясно, что 1 ≤ s ≤ k
r
.
Поскольку c
r
является k
r
-кратным корнем f , для некоторого u ∈
K[X] верно f = (X − c
r
)
k
r
u. Тогда
(X − c
r
)
k
r
u = f = (X − c
1
)
k
1
. . . (X − c
r−1
)
k
r−1
(X − c
r
)
s
v.
Сокращая обе части последнего равенства на (X −c
r
)
s
, с учетом условия
(c
r
− c
1
)
k
1
. . . (c
r
− c
r−1
)
k
r−1
v(c
r
) 6= 0 приходим к s = k
r
. Итак,
f = (X −c
1
)
k
1
. . . (X − c
r
)
k
r
v,
62
строки пишется элемент c, в следующей ячейке — a0 , а все последующие
ячейки заполняются слева направо по правилу: к содержимому верхней
ячейки прибавляется содержимое предыдущей (левой) ячейки,
умноженное предварительно на c. Корректность данного алгоритма
легко установить, подставив выражения для коэффициентов многочлена
q и остатка r в равенство f = (X − c)q + r (проверьте это в качестве
упражнения(!)).
      Элемент c ∈ K называется k -кратным корнем многочлена f ∈
K[X], если (X − c)k | f и (X − c)k+1 - f . В частности, при k = 1 корень
называется простым, при k = 2 — двойным, при k = 3 — тройным и
так далее. Таким образом, c ∈ K есть k -кратный корень многочлена f
тогда и только тогда, когда f = (X − c)k g , где НОД (X − c, g) = 1, то
есть, g(c) 6= 0. Отметим, что при этом deg f = k + deg g .
Теорема 6.9 Пусть f ∈ K[X], deg f > 0 и c1 , . . . , cr — корни f
кратностей k1 , . . . , kr . Тогда найдется g ∈ K[X] такой, что
        f = (X − c1 )k1 . . . (X − cr )kr g, где g(ci ) 6= 0 (i = 1, . . . , r).
В частности, k1 + · · · + kr ≤ deg f , то есть, сумма кратностей корней
ненулевого многочлена не превосходит его степени.
Доказательство проведем индукцией по r . При r = 1 доказывать нечего,
так как утверждение совпадает с определением k1 -кратного корня.
      Предположим, что утверждение уже доказано для r − 1 корней, то
есть, существует h ∈ K[X] такой, что f = (X − c1 )k1 . . . (X − cr−1 )kr−1 h
и h(ci ) 6= 0 при i = 1, . . . , r − 1. Так как cr − ci 6= 0 при i < r , то
(cr − c1 )k1 . . . (cr − cr−1 )kr−1 6= 0, но cr — корень f , поэтому 0 = f (cr ) =
(cr − c1 )k1 . . . (cr − cr−1 )kr−1 h(cr ) влечет h(cr ) = 0, то есть, cr — корень h
некоторой кратности s. Следовательно, h = (X − cr )s v , v(cr ) 6= 0, для
подходящего v ∈ K[X]. Ясно, что 1 ≤ s ≤ kr .
      Поскольку cr является kr -кратным корнем f , для некоторого u ∈
K[X] верно f = (X − cr )kr u. Тогда
         (X − cr )kr u = f = (X − c1 )k1 . . . (X − cr−1 )kr−1 (X − cr )s v.
Сокращая обе части последнего равенства на (X − cr )s , с учетом условия
(cr − c1 )k1 . . . (cr − cr−1 )kr−1 v(cr ) 6= 0 приходим к s = kr . Итак,
                         f = (X − c1 )k1 . . . (X − cr )kr v,

                                          62

Страницы