Интегральное исчисление функции одной переменной. - 3 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . . 3
10)
R
dx
a
2
+x
2
=
1
a
arctg
x
a
+ C (a 6= 0);
11)
R
dx
a
2
−x
2
=
1
2a
ln
a+x
a−x
+ C (a 6= 0; |x| 6= |a|);
12)
R
dx
√
a
2
−x
2
= arcsin
x
a
+ C (a 6= 0; |x| < |a|);
13)
R
dx
√
x
2
+k
= ln |x +
√
x
2
+ k| + C (k 6= 0, × ÓÌÕÞÁÅ k < 0 |x| > |k|);
14)
R
sh x dx = ch x + C;
15)
R
ch x dx = sh x + C;
16)
R
dx
ch
2
x
= th x + C;
17)
R
dx
sh
2
x
= −cth x + C; (x 6= 0).
ôÁÂÌÉÃÁ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÏ×.
1) dx =
1
a
d(ax + b) (a 6= 0);
2) x
p
dx =
dx
p+1
p+1
(p 6= −1);
3)
dx
x
= d(ln |x|) (x 6= 0);
4) sin x dx = −d cos x;
5) cos x dx = d sin x;
6)
dx
cos
2
x
= d tg x;
7)
dx
sin
2
x
= −d ctg x;
8) a
x
dx =
da
x
ln a
; e
x
dx = de
x
;
9) sh x dx = d ch x;
10) ch x dx = d sh x;
11)
dx
√
1−x
2
= d arcsin x = −d arccos x;
12)
dx
1+x
2
= d arctg x = −d arcctg x.
1.2. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÐÕÔÅÍ ÚÁÍÅÎÙ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ
ïÄÉÎ ÉÚ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÒÁÓÐÒÏÓÔÒÁÎÅÎÎÙÈ ÍÅÔÏÄÏ×, ÐÒÉÍÅÎÑÅÍÙÈ ÐÒÉ ×ÙÞÉ-
ÓÌÅÎÉÉ ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× ¡ ÍÅÔÏÄ ÚÁÍÅÎÙ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. ÷ ÅÇÏ
ÏÓÎÏ×Å ÌÅÖÁÔ ÐÒÁ×ÉÌÁ 3 É 4, ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ × ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÐÕÎËÔÅ. íÅ-
ÔÏÄ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÓÏÏÂÒÁÚÎÏ ×ÉÄÕ ÐÏÄÙÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÊ ÆÕÎË-
ÃÉÉ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ×ÓÐÏÍÏÇÁÔÅÌØÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ, ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ ËÏÔÏÒÏÊ × ÉÓÈÏÄ-
ÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÐÒÉ×ÏÄÉÔ ÅÇÏ Ë ×ÉÄÕ, ÂÏÌÅÅ ÕÄÏÂÎÏÍÕ ÄÌÑ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ.
÷ÙÄÅÌÑÀÔÓÑ Ä×Å ÆÏÒÍÙ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ.
I. ðÕÓÔØ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
R
g(x) dx. óÏÇÌÁÓÎÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ 3
×ÙÂÅÒÅÍ, ÅÓÌÉ ÜÔÏ ÕÄÁÅÔÓÑ, ÔÁËÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ u(x), ÞÔÏ ÐÏÄÙÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ×Ù-
ÒÁÖÅÎÉÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ:
Z
g(x) dx =
Z
f(u(x))u
0
(x) dx =
Z
f(u(x)) du(x).
ôÏÇÄÁ, ÄÅÌÁÑ ÚÁÍÅÎÕ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ t = u(x), ÐÏ ÓËÁÚÁÎÎÏÍÕ ×ÙÛÅ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ
§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . .                                                  3

10) a2dx          = a1 arctg xa + C (a 6= 0);
     R
     R dx   +x2
                       1    a+x
11) a2 −x2 = 2a          ln a−x  + C (a 6= 0; |x| 6= |a|);
12) √a2 −x2 = arcsin xa + C (a 6= 0; |x| < |a|);
     R dx
                              √
13) √xdx
     R
             2 +k = ln |x +     x2 + k| + C (k 6= 0, × ÓÌÕÞÁÅ k < 0 |x| > |k|);
     R
14) R sh x dx = ch x + C;
15) R ch x dx = sh x + C;
16) chdx2 x = th x + C;
17) shdx2 x = − cth x + C; (x 6= 0).
     R

   ôÁÂÌÉÃÁ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÏ×.
1) dx = a1 d(ax + b) (a 6= 0);
                    p+1
2) xp dx = dxp+1 (p 6= −1);
3) dx
    x = d(ln |x|) (x 6= 0);
4) sin x dx = −d cos x;
5) cos x dx = d sin x;
6) cosdx2 x = d tg x;
7) sindx2 x = −d ctg x;
                    x
8) ax dx = da             x
                 ln a ; e dx = de ;
                                   x

9) sh x dx = d ch x;
10) ch x dx = d sh x;
         dx
11) √1−x     2 = d arcsin x = −d arccos x;
        dx
12) 1+x    2 = d arctg x = −d arcctg x.




1.2. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÐÕÔÅÍ ÚÁÍÅÎÙ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ

   ïÄÉÎ ÉÚ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÒÁÓÐÒÏÓÔÒÁÎÅÎÎÙÈ ÍÅÔÏÄÏ×, ÐÒÉÍÅÎÑÅÍÙÈ ÐÒÉ ×ÙÞÉ-
ÓÌÅÎÉÉ ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× ¡ ÍÅÔÏÄ ÚÁÍÅÎÙ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. ÷ ÅÇÏ
ÏÓÎÏ×Å ÌÅÖÁÔ ÐÒÁ×ÉÌÁ 3 É 4, ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ × ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÐÕÎËÔÅ. íÅ-
ÔÏÄ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÓÏÏÂÒÁÚÎÏ ×ÉÄÕ ÐÏÄÙÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÊ ÆÕÎË-
ÃÉÉ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ×ÓÐÏÍÏÇÁÔÅÌØÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ, ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ ËÏÔÏÒÏÊ × ÉÓÈÏÄ-
ÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÐÒÉ×ÏÄÉÔ ÅÇÏ Ë ×ÉÄÕ, ÂÏÌÅÅ ÕÄÏÂÎÏÍÕ ÄÌÑ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ.
   ÷ÙÄÅÌÑÀÔÓÑ Ä×Å ÆÏÒÍÙ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ.       R
   I. ðÕÓÔØ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌ g(x) dx. óÏÇÌÁÓÎÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ 3
×ÙÂÅÒÅÍ, ÅÓÌÉ ÜÔÏ ÕÄÁÅÔÓÑ, ÔÁËÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ u(x), ÞÔÏ ÐÏÄÙÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ×Ù-
ÒÁÖÅÎÉÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ:
             Z          Z                    Z
                                    0
               g(x) dx = f (u(x))u (x) dx = f (u(x)) du(x).

ôÏÇÄÁ, ÄÅÌÁÑ ÚÁÍÅÎÕ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ t = u(x), ÐÏ ÓËÁÚÁÎÎÏÍÕ ×ÙÛÅ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ

Страницы