Интегральное исчисление функции одной переменной. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

42 §2. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á. . .
îÁÊÄÅÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ r
0
ϕ
= (1 + cos ϕ)
0
= −sin ϕ, ÏÔÓÀÄÁ
l =
π
Z
0
q
(1 + cos ϕ)
2
+ sin
2
ϕ dϕ =
π
Z
0
p
2 + 2 cos ϕ dϕ =
= 2
π
Z
0
cos
ϕ
2
dϕ = 4 sin
ϕ
2
π
0
= 4 ·
sin
π
2
− sin 0
= 4.
II. ðÌÏÝÁÄÉ
II.1. ðÕÓÔØ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÁÑ ÔÒÁÐÅÃÉÑ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÁ Ó×ÅÒÈÕ É ÓÎÉÚÕ ËÒÉ×Ù-
ÍÉ, ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ËÏÔÏÒÙÈ y = y
1
(x), y = y
2
(x), x ∈ [a, b], y
1
(x) > y
2
(x). ôÏÇÄÁ
ÐÌÏÝÁÄØ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÊ ÔÒÁÐÅÃÉÉ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ:
S =
b
Z
a
[y
1
(x) −y
2
(x)] dx.
ðÒÉÍÅÒ 10. äÁÎÙ ÜÌÌÉÐÓ
x
2
4
+
y
2
9
= 1 É ÐÒÑÍÙÅ x = 1, x = −1, y = 0,
ÎÁÊÔÉ ÐÌÏÝÁÄØ ÆÉÇÕÒÙ, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ ÐÒÑÍÙÍÉ É ÜÌÌÉÐÓÏÍ.
éÚ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÜÌÌÉÐÓÁ ÉÍÅÅÍ: y =
3
2
√
4 − x
2
, ÏÔÓÀÄÁ
S =
1
Z
−1
3
2
p
4 − x
2
dx = 3 arcsin
x
2
+
3
4
x
p
4 − x
2
1
−1
=
= 3 arcsin
1
2
+
3
4
√
4 −1 − 3 arcsin
−
1
2
+
3
4
√
4 − 1 =
= 6 arcsin
1
2
+
6
4
√
3 = π +
3
√
3
2
.
ðÒÉÍÅÒ 11. ïÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÐÌÏÝÁÄØ ÆÉÇÕÒÙ, ÚÁËÌÀÞÅÎÎÏÊ ÍÅÖÄÕ Ä×ÕÍÑ
ÐÁÒÁÂÏÌÁÍÉ y
2
= 6x É x
2
= 6y.
éÚ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ËÒÉ×ÙÈ ÉÍÅÅÍ: y =
√
6x, y =
x
2
6
, x ∈ [0, 6].
S =
6
Z
0
√
6x −
x
2
6
dx =
2
3
√
6 x
3/2
−
x
3
18
6
0
= 12.
II.2. ðÌÏÝÁÄØ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÊ ÔÒÁÐÅÃÉÉ × ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ËÒÉ×ÁÑ ÚÁÄÁÎÁ ×
ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ: x = x(t), y = y(t), α 6 t 6 β, ϕ(α) = a, ϕ(β) = b,
42                        §2. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á. . .

     îÁÊÄÅÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ rϕ0 = (1 + cos ϕ)0 = − sin ϕ, ÏÔÓÀÄÁ

    Zπ q                           Zπ p
 l=     (1 + cos ϕ)2 + sin2 ϕ dϕ =     2 + 2 cos ϕ dϕ =
       0                                        0
                                Zπ                             π
                                        ϕ           ϕ                       π       
                           =2        cos dϕ = 4 sin                 = 4 · sin − sin 0 = 4.
                                        2           2          0             2
                                0

  II. ðÌÏÝÁÄÉ
  II.1. ðÕÓÔØ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÁÑ ÔÒÁÐÅÃÉÑ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÁ Ó×ÅÒÈÕ É ÓÎÉÚÕ ËÒÉ×Ù-
ÍÉ, ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ËÏÔÏÒÙÈ y = y1 (x), y = y2 (x), x ∈ [a, b], y1 (x) > y2 (x). ôÏÇÄÁ
ÐÌÏÝÁÄØ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÊ ÔÒÁÐÅÃÉÉ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ:
                                     Zb
                             S=              [y1(x) − y2 (x)] dx.
                                     a

                                         2          2
  ðÒÉÍÅÒ 10. äÁÎÙ ÜÌÌÉÐÓ x4 + y9 = 1 É ÐÒÑÍÙÅ x = 1, x = −1, y = 0,
ÎÁÊÔÉ ÐÌÏÝÁÄØ ÆÉÇÕÒÙ, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ√ÐÒÑÍÙÍÉ É ÜÌÌÉÐÓÏÍ.
  éÚ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÜÌÌÉÐÓÁ ÉÍÅÅÍ: y = 23 4 − x2, ÏÔÓÀÄÁ

        Z1                                                     1
             3p                      x 3 p
 S=             4 − x2 dx = 3 arcsin + x 4 − x2          =
             2                       2 4              −1
       −1
                         1 3√                                3√
                                                   
                                                      1
               = 3 arcsin +       4 − 1 − 3 arcsin −      +    4−1=
                         2 4                          2      4
                                                                       √
                                                            1 6√      3 3
                                                 = 6 arcsin +    3=π+     .
                                                            2 4        2
  ðÒÉÍÅÒ 11. ïÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÐÌÏÝÁÄØ ÆÉÇÕÒÙ, ÚÁËÌÀÞÅÎÎÏÊ ÍÅÖÄÕ Ä×ÕÍÑ
ÐÁÒÁÂÏÌÁÍÉ y 2 = 6x É x2 = 6y.  √          2
  éÚ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ËÒÉ×ÙÈ ÉÍÅÅÍ: y = 6x, y = x6 , x ∈ [0, 6].
                   Z6  √                            6
                              x2          2 √ 3/2 x3
                                       
                S=       6x −      dx =      6x −       = 12.
                              6           3       18 0
                    0

  II.2. ðÌÏÝÁÄØ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÊ ÔÒÁÐÅÃÉÉ × ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ËÒÉ×ÁÑ ÚÁÄÁÎÁ ×
ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ: x = x(t), y = y(t), α 6 t 6 β, ϕ(α) = a, ϕ(β) = b,

Страницы