Математические основы защиты информации. Ишмухаметов Ш.Т - 104 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Глава 3. Эллиптические кривые 105
Определение. Кривой Эдвардса называется кривая над полем K ,
задаваемая уравнением
x
2
+ y
2
= c
2
(1 + dx
2
y
2
) (5.72)
При c = 1 кривая Эдвардса называется скрученной кривой Эдвардса.
Правило сложения точек на кривой Эдвардса в афинных координатах
задается формулой
(x
1
, y
1
) + (x
2
, y
2
) =
(
x
1
y
2
+ x
2
y
1
1 + dx
1
x
2
y
1
y
2
,
y
1
y
2
− x
1
x
2
1 − dx
1
x
2
y
1
y
2
)
(5.73)
Замена переменных x
′
= x/c, y
′
= y/c приводит к изоморфной кривой,
у которой коэффициент c = 1, поэтому без ограничения общности будем
считать в дальнейших расчетах c = 1.
Проективные координаты
В проективных координатах кривая Эдвардса имеет вид
X
2
Z
2
+ Y
2
Z
2
= Z
4
+ dX
2
Y
2
(5.74)
Афинные координаты точки P (x, y) связаны точки связаны в
проективными P (X : Y : Z) отображениями
(x, y) → (x : y : 1), (X : Y : Z) → (X/Z, Y/Z)
причем бесконечно удаленной точке ∞ соответствует две проективные
бесконечно удаленные точки (0 : 1 : 0) и (1 : 0 : 0).
Закон сложения в проективных координатах перепишется в виде
(X
1
, Y
1
, Z
1
) + (X
2
, Y
2
, Z
2
) =
= (Z
1
Z
2
· (X
1
Y
1
+ X
2
Y
2
), Z
1
Z
2
· (Y
1
Y
2
− X
1
X
2
), Z
2
1
Z
2
2
+ dX
1
X
2
Y
1
Y
2
) (5.75)
Последовательность формул для вычисления суммы может быть
записана следующим образом:
A = Z
1
Z
2
, B = A
2
, C = X
1
X
2
, D = Y
1
Y
2
, E = dCD,
F = B − E, G = B + E, X
3
= AF ((X
1
+ Y
1
) · (X
2
+ Y
2
) − C − D),
Y
3
= AG(D − C), Z
3
= cF G.
Глава 3. Эллиптические кривые                                                               105

      Определение. Кривой Эдвардса называется кривая над полем K ,
задаваемая уравнением

                                  x2 + y 2 = c2 (1 + dx2 y 2 )                            (5.72)

      При c = 1 кривая Эдвардса называется скрученной кривой Эдвардса.
      Правило сложения точек на кривой Эдвардса в афинных координатах
задается формулой
                                           (                                         )
                                                x1 y 2 + x2 y 1   y 1 y 2 − x1 x 2
               (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) =                        ,                         (5.73)
                                               1 + dx1 x2 y1 y2 1 − dx1 x2 y1 y2
      Замена переменных x′ = x/c, y ′ = y/c приводит к изоморфной кривой,
у которой коэффициент c = 1, поэтому без ограничения общности будем
считать в дальнейших расчетах c = 1.

Проективные координаты

      В проективных координатах кривая Эдвардса имеет вид

                              X 2 Z 2 + Y 2 Z 2 = Z 4 + dX 2 Y 2                          (5.74)

      Афинные координаты точки P (x, y) связаны точки связаны в
проективными P (X : Y : Z) отображениями

                (x, y) → (x : y : 1),             (X : Y : Z) → (X/Z, Y /Z)

причем бесконечно удаленной точке ∞ соответствует две проективные
бесконечно удаленные точки (0 : 1 : 0) и (1 : 0 : 0).
      Закон сложения в проективных координатах перепишется в виде

    (X1 , Y1 , Z1 ) + (X2 , Y2 , Z2 ) =

 = (Z1 Z2 · (X1 Y1 + X2 Y2 ), Z1 Z2 · (Y1 Y2 − X1 X2 ), Z12 Z22 + dX1 X2 Y1 Y2 ) (5.75)
      Последовательность формул для вычисления суммы может быть
записана следующим образом:

 A = Z1 Z2 ,             B = A2 ,              C = X1 X2 ,     D = Y1 Y2 ,     E = dCD,
 F = B − E,              G = B + E, X3 = AF ((X1 + Y1 ) · (X2 + Y2 ) − C − D),
 Y3 = AG(D − C), Z3 = cF G.

Страницы