Математические основы защиты информации. Ишмухаметов Ш.Т - 109 стр.

Спаривание Вейля-Тейта                                                 110

вычислить дискретный логарифм. Получатель также не знает k , но ему
в качестве подсказки посылается k · G. Умножив k · G на свой закрытый
ключ, получатель получит значение, которое было добавлено отправителем
к незашифрованному сообщению. Тем самым получатель, не зная k , но имея
свой закрытый ключ, может восстановить незашифрованное сообщение.
       Замечание. Здесь надо еще сказать, как кодировать текстовое
сообщение точками кривой. Для этого сообщение разбивается на отдельные
символы, и каждый символ заменяется его числовым кодом. Можно
использовать какую-нибудь стандартную кодировку типа ASCII или
WIN1251 либо просто перенумеровать все буквы последовательными
цифрами.
       Далее надо каждому коду сопоставить какую-нибудь точку на кривой.
Самый простой вариант – это составить таблицу, сопоставив символу с кодом
k координату x точки kG. Однако, лишь половина значений x является,в
среднем, координатами точки ЭК. Поэтому, можно выбрать какое-нибудь
натуральное число k ≥ 2 и выбрать кодом для x любую точку ЭК P (u, v),
для которой x = ⌊u/k⌋ (таких точек будет, в среднем, ⌊k/2⌋).
       Тогда, зная координаты (u, v) любой из возможных точек P , можно
восстановить x, вычисляя целую часть от u/k .
       Другой вариант состоит в том, чтобы использовать эллиптические
кривые специального вида, например, кривые вида y 2 = x3 + a (mod p),
где p ≡ 2(mod 3). Для таких кривых полином z = x3 + a(mod p) является
перестановкой, поэтому каждый элемент 0 ≤ u < p имеет кубический корень
в поле Fp . Тогда, кодовую точку для числа y можно взять равной точке
Py (x, y), имеющей y в качестве своей ординаты, а x, найденном из уравнения
x3 = y 2 − a.

Построение электронной цифровой подписи с использованием ЭК

      Алгоритм ECDSA (Elliptic Curve Digest Signature Algorithm) принят в
качестве стандартов ANSI X9F1 и IEEE P1363. Создание ключей:
   1. Выбирается эллиптическая кривая Ep (a, b). Число точек на ней должно
      делиться на большое простое число n.