Математические основы защиты информации. Ишмухаметов Ш.Т - 120 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Спаривание Вейля-Тейта 121
местами аргументов P и Q. Это не влияет на свойства этого преобразования.
Рассмотрим пример вычисления отображения Вейля.
Пример. Пусть EC –эллиптическая кривая над полем F
7
, заданная
уравнением
EC : y
2
= x
3
+ 2.
Множество E[3] содержит 9 точек, и E[3] ≃ Z
3
⊕ Z
3
. Вычислим
e
3
((0, 3), (5, 1)).
Определим P = (0, 3), Q = (5, 1) и R = (6, 1). Тогда D
P
=
[(0, 3)] − [∞], D
Q
= [(5, 1) + (6, 1)] − [(6, 1)] = [(3, 6)] − [(6, 1)]. Также как
и в предыдущем разделе, найдем функцию Вейля (6.85) для точек P и Q:
f
(0,3)
= y − 3, f
(5,1)
=
4x − y + 1
5x − y − 1
.
Далее
f
(0,3)
(D
Q
) =
f
(0,3)
(3, 6)
f
(0,3)
(6, 1)
=
6 − 3
1 − 3
≡ 2 (mod 7).
Аналогично,
f
Q
(D
P
) = 4,
где учтено f
Q
(∞) = 1 (см. [36], c.360). Отсюда
e
3
((5, 1), (0, 3)) =
2
4
=≡ 4 ( mod 7).
Отметим, что 4 является кубическим корнем из 1, т.к. 4
3
= 64 ≡ 1 (mod 7).
Определение отображения Тейта
Определим далее отображение Тейта. Первым аргументом преобразования
Тейта по-прежнему является произвольная т.P ∈ E[n]. Обозначим через
nE множество точек {nT | T ∈ E}, а через E/nE множество классов
эквивалентности кривой E по множеству nE .
Спаривание Вейля-Тейта                                                        121

местами аргументов P и Q. Это не влияет на свойства этого преобразования.
Рассмотрим пример вычисления отображения Вейля.

        Пример. Пусть EC –эллиптическая кривая над полем F7 , заданная
уравнением

              EC : y 2 = x3 + 2.

Множество E[3] содержит 9 точек, и E[3]                ≃    Z3 ⊕ Z3 . Вычислим
e3 ((0, 3), (5, 1)).
        Определим P = (0, 3), Q = (5, 1) и R = (6, 1). Тогда DP =
[(0, 3)] − [∞], DQ = [(5, 1) + (6, 1)] − [(6, 1)] = [(3, 6)] − [(6, 1)]. Также как
и в предыдущем разделе, найдем функцию Вейля (6.85) для точек P и Q:
                                       4x − y + 1
            f(0,3) = y − 3, f(5,1) =              .
                                       5x − y − 1
Далее
                         f(0,3) (3, 6) 6 − 3
        f(0,3) (DQ ) =                =      ≡ 2 (mod 7).
                         f(0,3) (6, 1) 1 − 3

Аналогично,

                  fQ (DP ) = 4,

где учтено fQ (∞) = 1 (см. [36], c.360). Отсюда
                           2
   e3 ((5, 1), (0, 3)) =     =≡ 4 ( mod 7).
                           4
Отметим, что 4 является кубическим корнем из 1, т.к. 43 = 64 ≡ 1 (mod 7).

Определение отображения Тейта


Определим далее отображение Тейта. Первым аргументом преобразования
Тейта по-прежнему является произвольная т.P ∈ E[n]. Обозначим через
nE множество точек {nT | T ∈ E}, а через E/nE множество классов
эквивалентности кривой E по множеству nE .

Страницы