Математические основы защиты информации. Ишмухаметов Ш.Т - 17 стр.

Глава 1. Системы шифрования с открытым ключом                                18

1. Ассоциативность по сложению: (∀a, b, c ∈ K) a + (b + c) = (a + b) + c,
2. Существование нулевого элемента: (∃0 ∈ K)(∀a ∈ K) a + 0 = 0 + a = a,
3. Существование обратного элемента:        (∀a ∈ K)(∃b ∈ K) a + b = b + a =0,
4. Ассоциативность по умножению: (∀a, b, c ∈ K) a · (b · c) = (a · b) · c,
5. Дистрибутивность: (∀a, b, c ∈ K) a · (b + c) = a · b + a · c,
(b + c) · a = b · a + c · a.

      Обратный по сложению к a элемент обозначается через (−a).
Множество элементов, удовлетворяющих только первым трем свойствам,
называется группой. Если в группе < G, + > выполняется свойство
коммутативности a + b = b + a, то группа называется коммутативной или
абелевой. Очевидно, что группа по сложению кольца Z n является абелевой
группой.
      Если модуль n является простым числом, то множество ненулевых
элементов кольца Z n (обозначаемое через Z ∗n ) образует коммутативную
группу по умножению, т.е. существует нейтральный элемент 1 a·1=1·a, и
для каждого элемента a имеется обратный по умножению a−1 со свойством
a · a−1 =1.
      Алгебраические структуры, содержащие абелеву группы по сложению
и группу по умножению, связанные законами дистрибутивности, называются
полями. Конечные поля называют также полями Галуа по имени гениального
французского математика Эвариста Галуа (1811 – 1832), исследовавшего
эти поля, и обозначают GF (q). Более подробные сведения о конечных
полях читатель может получить из монографии Р.Лидла и Г.Нидеррайтера
«Конечные поля» [53].
      Пусть G–произвольная группа по умножению.

Определение 2.2. Порядком элемента a группы G ( обозначается через
ordG (a)) называется наименьшее число k такое, что ak = 1. Порядком
группы называется число ее элементов.

      Следующее свойство, связывающее порядки элементов с порядком
группы, широко используется в различных алгоритмах, описанных ниже. Эта