Математические основы защиты информации. Ишмухаметов Ш.Т - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

81
[41] и «Алгоритмические основы эллиптической криптографии» [42]. На
английском языке следует отметить, в первую очередь, 2-е издание книги
Л. Вашингтона «Elliptic Curves Number Theory and Cryptography». [36]
Хороший обзор по алгоритмам использования эллиптических кривых в
криптографии можно найти в [?].
Начнем наше изложение с определения эллиптической кривой над
конечным полем.
5.1. Определение эллиптической кривой
Определение. Пусть F
q
, q = p
k
, конечное поле характеристики
p ≥ 2. Эллиптической кривой над полем F
q
называется множество точек
(x, y) ∈ F
q
⊕ F
q
, удовлетворяющих уравнению Вейерштрассе
y
2
+ ay + b = x
3
+ cx
2
+ dx + e (5.33)
Кроме того, к множеству точек ЭК добавляется специальная точка,
обозначаемая через ∞ и называемая точкой в бесконечности.
Если характеристика поля p ≥ 3 (а именно этот случай для нас
наиболее интересен), уравнение (5.33) может быть преобразовано путем
замены переменных в уравнение
y
2
= x
3
+ ax + b, (5.34)
где a, b ∈ F
q
, которое называется сокращенным уравнением Вейерштрассе.
Важными параметрами эллиптической кривой являются ее
дискриминант ∆ и инвариант j :
∆ = −16(4a
3
+ 27b
2
) j =
1728(4a)
3
δ
Если ∆ ̸= 0, то многочлен x
3
+ ax + b, стоящий в правой части
уравнения кривой, не имеет кратных корней. Такая кривая называется
неособой. Мы будем рассматривать только неособые кривые.
На множестве точек E неособой эллиптической кривой можно
определить групповую операцию суммирования +, с помощью которой это
                                                                          81

[41] и «Алгоритмические основы эллиптической криптографии» [42]. На
английском языке следует отметить, в первую очередь, 2-е издание книги
Л. Вашингтона «Elliptic Curves Number Theory and Cryptography». [36]
Хороший обзор по алгоритмам использования эллиптических кривых в
криптографии можно найти в [?].
      Начнем наше изложение с определения эллиптической кривой над
конечным полем.


5.1. Определение эллиптической кривой

      Определение.      Пусть Fq , q = pk , конечное поле характеристики
p ≥ 2. Эллиптической кривой над полем Fq называется множество точек
(x, y) ∈ Fq ⊕ Fq , удовлетворяющих уравнению Вейерштрассе

           y 2 + ay + b = x3 + cx2 + dx + e                           (5.33)

      Кроме того, к множеству точек ЭК добавляется специальная точка,
обозначаемая через ∞ и называемая точкой в бесконечности.
      Если характеристика поля p ≥ 3 (а именно этот случай для нас
наиболее интересен), уравнение (5.33) может быть преобразовано путем
замены переменных в уравнение

             y 2 = x3 + ax + b,                                       (5.34)

где a, b ∈ Fq , которое называется сокращенным уравнением Вейерштрассе.
      Важными     параметрами         эллиптической   кривой   являются   ее
дискриминант ∆ и инвариант j :
                                                 1728(4a)3
                  ∆ = −16(4a + 27b )
                                  3     2
                                              j=
                                                     δ
      Если ∆ ̸= 0, то многочлен x3 + ax + b, стоящий в правой части
уравнения кривой, не имеет кратных корней. Такая кривая называется
неособой. Мы будем рассматривать только неособые кривые.
      На множестве точек E неособой эллиптической кривой можно
определить групповую операцию суммирования +, с помощью которой это

Страницы