Математические основы защиты информации. Ишмухаметов Ш.Т - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

82
множество становится аддитивной абелевой группой. Нулем этой группы
является бесконечно удаленная точка ∞, а обратным элементом к к точке
P = (x, y) ∈ E будет являться точка −P = (x, −y).
Сначала опишем геометрическую интерпретацию операции
суммирования. Пусть P
1
(x
1
, y
1
) и P
2
(x
2
, y
2
) – произвольные точки, и
P
3
(x
3
, y
3
) обозначает сумму этих точек P
3
= P
1
+ P
2
.
Проведем через точки P
1
(x
1
, y
1
) и P
2
(x
2
, y
2
) прямую L до пересечения
с третьей точкой, которую обозначим через P
′
(x
′
3
, y
′
3
). Такая точка
обязательно найдется, т.к. пересечение произвольной прямой с кривой EC
имеет либо одну, либо 3 точки пересечения.
Определим сумму трех точек P
1
(x
1
, y
1
), P
2
(x
2
, y
2
) и P
′
3
(x
′
3
, y
′
3
) равной
нулю (бесконечно удаленной точке):
P
1
+ P
2
+ P
′
= ∞ (5.35)
Тогда P
3
= P
1
+P
2
= −P
′
, откуда x
3
= x
′
3
, y
3
= −y
′
3
. Для вычисления
координат точки P
3
, найдем параметры прямой L : y = λx + d:
λ =
y
2
− y
1
x
2
− x
1
, d = y
1
− λx
1
(5.36)
Подставляя выражение для L в уравнение (5.33), получим
x
3
+ cx
2
+ ax + b − (λx + d)
2
= 0 (5.37)
Сумма координат x
1
+ x
2
+ x
3
должна быть равна коэффициенту при
x
2
, взятому с противоположным знаком:
x
1
+ x
2
+ x
3
= λ
2
− c =
(
y
2
− y
1
x
2
− x
1
)
2
− c, (5.38)
откуда получим формулу для координат суммы:
{
x
3
= λ
2
− x
1
− x
2
− с
y
3
= λ(x
1
− x
3
) − y
1
= λ(2x
1
+ x
2
− λ
2
+ c) − y
1
(5.39)
где для сокращенного уравнения (5.34) значение параметра c равно 0.
                                                                                    82

множество становится аддитивной абелевой группой. Нулем этой группы
является бесконечно удаленная точка ∞, а обратным элементом к к точке
P = (x, y) ∈ E будет являться точка −P = (x, −y).
      Сначала      опишем       геометрическую          интерпретацию       операции
суммирования. Пусть P1 (x1 , y1 ) и P2 (x2 , y2 ) – произвольные точки, и
P3 (x3 , y3 ) обозначает сумму этих точек P3 = P1 + P2 .
      Проведем через точки P1 (x1 , y1 ) и P2 (x2 , y2 ) прямую L до пересечения
с третьей точкой, которую обозначим через P ′ (x′3 , y3′ ). Такая точка
обязательно найдется, т.к. пересечение произвольной прямой с кривой EC
имеет либо одну, либо 3 точки пересечения.
      Определим сумму трех точек P1 (x1 , y1 ), P2 (x2 , y2 ) и P3′ (x′3 , y3′ ) равной
нулю (бесконечно удаленной точке):

                   P1 + P2 + P ′ = ∞                                            (5.35)

      Тогда P3 = P1 + P2 = −P ′ , откуда x3 = x′3 , y3 = −y3′ . Для вычисления
координат точки P3 , найдем параметры прямой L : y = λx + d:
                         y2 − y1
                   λ=             , d = y1 − λx1                                (5.36)
                         x2 − x 1
      Подставляя выражение для L в уравнение (5.33), получим

             x3 + cx2 + ax + b − (λx + d)2 = 0                                  (5.37)

      Сумма координат x1 + x2 + x3 должна быть равна коэффициенту при
x2 , взятому с противоположным знаком:
                                               (              )2
                                                   y2 − y1
                   x1 + x2 + x 3 = λ 2 − c =                       − c,         (5.38)
                                                   x2 − x 1
откуда получим формулу для координат суммы:
     {
        x 3 = λ 2 − x1 − x2 − с
                                                                                (5.39)
        y3 = λ(x1 − x3 ) − y1 = λ(2x1 + x2 − λ2 + c) − y1

где для сокращенного уравнения (5.34) значение параметра c равно 0.

Страницы