Методы факторизации натуральных чисел. Ишмухаметов Ш.Т. - 159 стр.

Глава 5. Метод решета числового поля                                           160

≡ 22455983949710645412x2 +54100105785512562427x+22939402657683071224

                                                      (mod (x3 + 15x2 + 29x + 8))
                                                                            (5.140)

      2. Вторая причина того, что многочлен γ(x) может не быть полным
квадратом, заключается в существовании нетривиальных элементов кольца
Z(θ), имеющих норму, равную 1 или -1.

       Элемент v кольца Z[θ] числового поля Q[θ] называется единицей, если
                                                    √           √
его норма N r(v) равна ±. Например, элемент v = 2+ 3 в поле Q[ 3] имеет
норму 1 и является единицей. Множество единиц алгебраического числового
поля образует группу по умножению (см.[62], гл.2, §4). Строение этой группы
описывается теоремой Дирихле ([62], с.133), которая утверждает, что любой
ее элемент ε является произведение вида

                            ε = ζ · εr11 · ... · εrkk ,                     (5.141)

где ζ – некоторый корень из 1, а набор порождающих ε1 , ..., ε1rk содержит
k = s + t − 1 элементов, s и t – число действительных и пар мнимых корней
многочлена f (x).
      Таким образом, если норма многочлена g(x) является полным
квадратом в Z , то g(x) является произведением квадрата α2 (x) на
многочлен h(x) с нормой, равной 1. Построить базис множества единиц
в произвольном числовом поле является задачей нетривиальной, поэтому
в статье ([13]) была предложена идея введения квадратичных характеров.
Рассмотрим эту идею более подробно.
      Напомним, что символ Лежандра позволяет определить, является
ли произвольный элемент конечного поля квадратичным вычетом, т.е.
квадратом другого элемента. В нашем случае если многочлен γ(x) =
                      2
Q
  x∈S (a − bx) = α(x)   является полным квадратом, то выполняется
следующая теорема:

Теорема 5.4. Если идеал первого порядка c−dx, определяемый парой целых
чисел (q, s), не делит никакой идеал a − bx, входящий в произведение