Методы факторизации натуральных чисел. Ишмухаметов Ш.Т. - 32 стр.

                                                                       33

       Между тем, простых чисел достаточно много. Обозначим через π(x)
количество простых чисел на интервале от 1 до x.
       Еще в 1796 г. французский математик Адриен Мари Лежандр (1752–
1833) предположил, что функция π(x) может быть приближена выражением

                              x
                           π(x) ≈ − B, где B ≈ 1, 08.
                             ln x
       В середине XIX столетия П.Л. Чебышев (1821–1894) указал формулу
для количества простых чисел π(x) на интервале от 1 до x:
                                     x                 x
                               A·        < π(x) < B ·      ,
                                    ln x              ln x
где A = 0, 921, B = 1, 06, и доказал, что предел отношения π(x) к x/ ln x,
если он существует, равен 1.
       Полвека спустя в 1896 г., развивая идеи работ Чебышева, Адамар и
Валле-Пуссен одновременно и независимо доказывают теорему о том, что
предел отношения π(x) к x/ ln x существует и равен 1.
       Приведем здесь таблицу распределения функции π(x) на интервалах
[1; 10k ] для начальных значений k :

  x    102 103       104        106        108             1012
π(x)    25   168 1 229 78 498 5 761 455 37 607 912 018

       Распределение простых чисел связано также со знаменитой гипотезой
Римана. Эта гипотеза вошла в список 7 задач тысячелетия, за решение
каждой из которых Математический институт Клэя (Clay Mathematics In-
stitute, Кембридж, Массачусетс) выдвинул премию в 1 млн. долл. США, и
касается распределения нулей дзета-функции Римана, являющейся решением
функционального уравнения
                               πs
       ζ(s) = 2s π s−1 · sin      · Γ(1 − s) · ζ(1 − s),
                               2
или представленной явным выражением
                       ∞
              1    X µ(n)
                 =        ,
             ζ(s) n=1 ns