ВУЗ:
Составители:
)
11
(
1
2
2
2
1
'
nn
R −=
λ
,
где R
’
– постоянная Ридберга (R
’
=1,10 · 10
7
м
-1
).
5. Е
уд
=Е
св
/А, где удельная энергия связи;
А-атомная масса элемента.
6. Простейшие случаи движения микрочастиц.
1. Одномерное временное уравнение Шредингера
i
2
22
2
x
mt
∂
∂
−=
∂
∂
ψ
ψ
η
η
,
где i =
1− -мнимая единица; m- масса частицы, ψ(x,t)- волновая
функция, описывающая одномерное движение свободной частицы,
)(exp),( Etpx
i
tx −=
η
ψ
,
где А- амплитуда волны де Бройля; р- импульс частицы; Е- энергия
частицы.
Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний
0)(
2
22
2
=−+
∂
∂
ψ
ψ
UE
m
x η
где Е- полная энергия частицы; U- полная энергия; ψ(x)- координатная
(или амплитудная) часть волновой функции.
В общем случае уравнение Шредингера записывается в виде
0)(
2
22
2
2
2
2
2
=−+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ψ
ψψ
ψ
UE
m
zyx η
или в операторной форме
0)(
2
2
=−+∆
ϕϕ
UE
m
η
,
где ∆=
2
2
2
2
2
2
zyx ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
- оператор Лапласа.
При решении уравнения Шредингера следует иметь в виду стан-
дартные условия, которым должна удовлетворять волновая функция:
конечность (во всем пространстве), однозначность, непрерывность са-
мой φ- функции и ее первой производной.
2. Вероятность dW обнаружить частицу в интервале от x до x+dx (в
одномерном случае) выражается формулой
dxxdW
2
)(
ϕ
= ,
где
2
)(x
ϕ
- плотность вероятности.
Вероятность W обнаружить частицу в интервале от x
1
доx
2
на-
ходиться интегрированием dW в указанных пределах:
W=
dxx
ч
ч
2
2
1
)(
∫
ϕ
.
3. Собственное значение энергии Е
n
частицы, находящейся на n-м
энергетическом уровне в бесконечно глубоком одномерном прямо-
угольном потенциальном ящике, определяется формулой
2
2
22
2
n
m
l
E
n
η
π
= (n=1,2,3,…),
где l – ширина потенциального ящика.
Соответствующая этой энергии собственная волновая функция
имеет вид
x
l
n
l
x
n
π
ϕ
sin
2
)( =
4. Коэффициент преломления n волн де Бройля на границе низкого по-
тенциального барьера бесконечной ширины
1
2
2
1
k
k
n
==
λ
λ
,
где λ
1
и λ
2
– длины волн де Бройля в областях I и II (частица движется
из области I в II); k
1
и k
2
– соответствующие значения волновых чисел.
5. Коэффициент отражения ρ и пропускания τ волн де Бройля через
низкий (U<E) потенциальный барьер бесконечной ширины:
2
21
21
kk
kk
+
−
=
ρ
;
2
21
21
)(
4
kk
kk
+
=
τ
,
где k
1
и k
2
- волновые числа волн де Бройля в областях I и III.
1 1 1 конечность (во всем пространстве), однозначность, непрерывность са-
= R' ( − 2), мой φ- функции и ее первой производной.
λ 2
n1 n 2
где R’ – постоянная Ридберга (R’=1,10 · 107м-1). 2. Вероятность dW обнаружить частицу в интервале от x до x+dx (в
одномерном случае) выражается формулой
5. Еуд=Есв/А, где удельная энергия связи; 2
А-атомная масса элемента. dW = ϕ ( x) dx ,
2
6. Простейшие случаи движения микрочастиц. где ϕ (x) - плотность вероятности.
1. Одномерное временное уравнение Шредингера Вероятность W обнаружить частицу в интервале от x1 доx2 на-
2ψ
∂ψ η ∂ 2 ходиться интегрированием dW в указанных пределах:
iη =− , ч2
∂t 2m ∂x 2 2
где i = − 1 -мнимая единица; m- масса частицы, ψ(x,t)- волновая
W= ∫ ϕ ( x)
ч1
dx .
функция, описывающая одномерное движение свободной частицы, 3. Собственное значение энергии Еn частицы, находящейся на n-м
i энергетическом уровне в бесконечно глубоком одномерном прямо-
ψ ( x, t ) = exp ( px − Et ) , угольном потенциальном ящике, определяется формулой
η
где А- амплитуда волны де Бройля; р- импульс частицы; Е- энергия π 2η2
En = n 2 (n=1,2,3,…),
частицы. 2ml 2
Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний где l – ширина потенциального ящика.
∂ 2ψ 2m Соответствующая этой энергии собственная волновая функция
+ ( E − U )ψ = 0 имеет вид
∂x 2 η2
2 πn
ϕ n ( x) = sin x
где Е- полная энергия частицы; U- полная энергия; ψ(x)- координатная l l
(или амплитудная) часть волновой функции. 4. Коэффициент преломления n волн де Бройля на границе низкого по-
В общем случае уравнение Шредингера записывается в виде тенциального барьера бесконечной ширины
∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ 2m λ1 k2
+ + + ( E − U )ψ = 0 n= = ,
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 η2 λ2 k1
или в операторной форме где λ1и λ2 – длины волн де Бройля в областях I и II (частица движется
из области I в II); k1 и k2 – соответствующие значения волновых чисел.
2m
∆ϕ + ( E − U )ϕ = 0 , 5. Коэффициент отражения ρ и пропускания τ волн де Бройля через
η2 низкий (U
