Применение эллиптических кривых в криптографии. Жданов О.Н - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СибГАУ | Красноярск

Составители: 

Рубрика: 

в) P = (3, 8) на 16643
32
+−= xxy .
г) P = (0, 0) на
232
xxyy −=+ (уравнение можно привести к виду (1) заменой пе-
ременных
2
1
−→ yy ,
3
1
+→ xx ).
6. Вывести формулы сложения, аналогичные (4)-(5), для эллиптических кривых над
полем характеристики 2, 3 (см. уравнение (2)-(3)).
7. Доказать, что число
q
F
-точек на каждой из следующих эллиптических кривых
равно q + 1:
а) xxy −=
32
, когда q ≡ 3 (mod 4);
в) 1
32
−= xy , когда q ≡ 2 (mod 3) (q нечетно);
г)
32
xуy =+ , когда q ≡ 2 (mod 3) (здесь q может быть четным).
8. Для всех степеней нечетных простых чисел
r
pq = до 27 включительно найти по-
рядок и тип группы
q
F -точек на эллиптических кривых xxy −=
32
и 1
32
−= xy (в по-
следнем случае – при р
≠ 3). В некоторых случаях Вам нужно будет проверить, сколько
точек имеют порядок 3 или 4.
9. Пусть
r
pq = и пусть эллиптическая кривая E над
q
F имеет уравнение
32
xуy =+ :
а) Выразить координаты -Р и 2Р в терминах координат Р.
б) Показать, что при q = 16 каждая Р
∈
Е есть точка порядка 3.
в) Показать, что любая точка Е с координатами в
16
F фактически есть точка с коор-
динатами в
4
F . Далее с помощью теоремы Хассе при q = 4 и 16 определить число точек на
кривой.
10. Вычислить дзета-функцию упражнения 8 над
q
F для p=5, 7, 11, 13.
11. Вычислить дзета-функцию кривой 1
32
+−=+ xxyy над
p
F
для р = 2 и 3 (сна-
чала покажите, что в обоих случаях
1
N = 1) Пусть N(x) = xx ⋅ обозначает норму ком-
плексного числа. В терминах нормы найти простую формулу для
r
N .
§ 2. Криптосистемы на эллиптических кривых
Большинство продуктов и стандартов, в которых для шифрования и проверки под-
линности применяются методы криптографии с открытым ключом, базируется на алго-
ритме RSA. Однако число битов ключа, необходимое для надежной защиты данных при
использовании RSA за последние годы резко возросло, что обусловило соответствующий
рост загрузки систем, использующих RSA. Криптография на основе эллиптических кри-
вых
(ECC – Elliptic Curve Cryptography) – появившийся сравнительно недавно подход,
способный конкурировать с RSA.
Привлекательность подхода на основе эллиптических кривых в сравнении с RSA
заключается в том, что с использованием эллиптических кривых обеспечивается эквива-
лентный уровень защиты при значительно меньшем числе разрядов, вследствие чего
уменьшается загрузка процессора. В то же время, хотя теория криптографии с использо-
ванием эллиптических
кривых у всех на слуху уже в течение достаточно долгого времени,
только недавно начали появляться продукты, представляющие интерес для криптоанализа
на предмет наличия соответствующих слабых мест. Таким образом, степень доверия к ме-
тодам криптографии с использованием эллиптических кривых еще не настолько высока,
как степень доверия к RSA.
Операция сложения в криптографии на
основе эллиптических кривых является
аналогом операции умножения по модулю простого числа в RSA, а многократное повтор-

Страницы