Применение эллиптических кривых в криптографии. Жданов О.Н - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СибГАУ | Красноярск

Составители: 

Рубрика: 

Пример 4. Найти тип для кривой xxy −=
32
над
71
F .
Решение.
Находим сначала число точек N. Из свойств квадратичного характера
()() ( )
abba
χ
χ
χ
= и
χ
(-1) = -1 следует, что в сумме (6) члены для х и для -х взаимно унич-
тожаются: )()()1())()((
333
xxxxxx −−=−−=−−−
χχχχ
. Следовательно, N = q + 1 = 72.
Далее, имеется в точности четыре точки порядка 2 (включая «бесконечную» точку
О): они
соответствуют корням многочлена )1)(1(
2
−+=− xxxxx (см. упражнение 4а). Это означа-
ет, что 2-примарная часть группы имеет тип (4, 2) и, таким образом, тип группы – это (4,
2, 3, 3) или (4, 2, 9), в зависимости от того, равно 9 или 3 число точек порядка 3. Следова-
тельно, остается выяснить, существует ли 9 точек порядка 3. Заметим, что условие 3
Р = О
при
Р
≠
О эквивалентно условию 2Р = ±Р, т.е. тому, что x-координаты точек 2Р и Р оди-
наковы. Согласно (5) это означает, что xxyx =−− 2))2/()13((
22
, т.е.
24222
121212)13( xxxyx −==− . Упрощая, получаем 0163
24
=−− xx Это уравнение имеет,
самое большее, 4 корня в
71
F . Каждый корень может давать не более двух точек (при у =
xx −
3
, если xx −
3
есть квадрат по модулю 71), и если было бы 4 корня, то получилось
бы 9 точек порядка 3 (включая точку
О). В противном случае должно было бы быть
меньше 9 точек порядка 3 (и, стало быть, в точности 3 таких точки). Но если корень
х би-
квадратного уравнения таков, что xx −
3
есть квадрат по модулю 71, то для другого его
корня -
х получаем, что )()()(
33
xxxx −−−=−−− не есть квадрат. Значит, число точек по-
рядка 3 не может быть равно 9 и потому тип группы – (4, 2, 9).
Расширения конечных полей, гипотеза Вейля.
Если эллиптическая кривая определена над
q
F , то она определена также над
Г
q
F , r
= 1,2,… и имеет смысл рассматривать
Г
q
F -точки, т.е. решения (1) над расширениями по-
ля. Отправляясь от поля
q
F как поля, над которым задана Е, определяем число
r
N
как
число
Г
q
F -точек на Е (таким образом, NN
=
1
есть число точек с координатами в нашем
«основном поле»
q
F
).
Для чисел
r
N можно рассмотреть «производящий ряд» Z(T; E/
q
F ) – формальный
степенной ряд в
Q[T]:
∑
=
r
r
T
r
N
q
eFETZ
/
)/;(
, (7)
где
Т – неизвестная; обозначение E/
q
F указывает эллиптическую кривую и поле, которое
мы берем в качестве основного, а сумма в правой части берется по всем
r = 1,2,…. Можно
показать, что ряд справа (рассматриваемый как бесконечное произведение экспоненци-
альных степенных рядов
∑
r
r
T
r
N
e
/
) имеет положительные целые коэффициенты. Этот сте-
пенной ряд называется
дзета-функцией эллиптической кривой (над
q
F ) и представляет
собой весьма важный объект, связанный с
Е.
«Гипотеза Вейля» (ныне теорема Делиня, P. Deligne) в значительно более общем
контексте (алгебраические многообразия произвольной размерности) утверждает, что дзе-
та-функция имеет весьма специальный вид. В случае эллиптической кривой
E/
q
F Вейль
(А. Weil) доказал следующее утверждение:
Гипотеза (теорема) Вейля для эллиптической кривой.
Дзета-функция есть рацио-
нальная функция от
Т вида
)1)(1(
1
)/;(
2
qTT
qTaT
FETZ
q
−−
+−
=
, (8)

Страницы