ВУЗ:
Составители:
n?» эквивалентен следующему: «Верно ли, что ранг эллиптической кривой xnxy
232
−=
больше нуля?» Случай
n = 6 и прямоугольного треугольника со сторонами 3, 4 и 5 соот-
ветствует точке
Р = (-3, 9) из примера 2, которая является точкой бесконечного порядка на
эллиптической кривой xxy 36
32
−= .
Эллиптические кривые над конечным полем.
Будем предполагать, что К – конечное поле
q
F
, с
r
pq = элементами. Пусть Е – эл-
липтическая кривая, определенная над
q
F . Если р = 2 или 3, то Е задается уравнением ви-
да (2) или (3) соответственно.
Легко усмотреть, что эллиптическая кривая может иметь не более 2
q + 1 различных
q
F -точек, т.е. точку в бесконечности и не более чем 2q пар (х, у), х, у ∈
q
F , удовлетво-
ряющих (1) (или (2) или (3), если
р = 2 или 3). А именно, для каждого из q возможных
значений
х имеется не более двух значений у, удовлетворяющих (1).
Но так как лишь у половины элементов
∗
q
F имеются квадратные корни, естествен-
но ожидать (если бы
baxx ++
3
были случайными элементами поля), что количество
q
F
-
точек примерно вдвое меньше этого числа. Точнее, пусть
χ
– квадратичный характер
q
F .
Это – отображение, переводящее
x
∈
∗
q
F в 1 или -1 в зависимости от того, является или
нет элемент
х квадратом элемента из
q
F (полагаем также
χ
(0) = 0). Например, если q –
это простое число р, то
χ
(х) =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
p
x
называется символом Лежандра. В любом случае чис-
ло решений y ∈
q
F уравнения
2
y = и равно 1 +
χ
(и) и, значит, число решений (1) (с уче-
том точки в бесконечности) равно
∑
∑
∈∈
++++=++++
qq
FxFx
baxxqbaxx )(1))(1(1
33
χχ
(6)
Следует ожидать, что )(
3
baxx ++
χ
одинаково часто принимает значения 1 и -1.
Вычисление суммы очень похоже на «случайное блуждание», когда мы подбрасываем
монету
q раз, продвигаясь на шаг вперед, если выдал герб, и назад – если решка. Из тео-
рии вероятностей известно, что после
q бросаний результат случайного блуждания оказы-
вается на расстоянии порядка
q от исходного положения. Сумма
∑
++ )(
3
baxx
χ
ведет
себя в чем-то аналогично случайному блужданию. Точнее, удалось доказать, что она ог-
раничена величиной
q2 . Этот результат – теорема Хассе.
Теорема Хассе.
Пусть N – число
q
F -точек на эллиптической кривой, определенной
над
q
F
. Тогда
qqN 2)1( ≤+− .
В дополнение к числу
N элементов на эллиптической кривой над
q
F нам бывает
нужно знать строение этой абелевой группы. Она не обязательно циклическая, но можно
показать, что она всегда является произведением двух циклических групп. Это означает,
что группа изоморфна произведению
р-примарных групп вида ZpZZpZ
βα
// × , где про-
изведение берется по всем простым делителям
N (здесь 0,1 ≥≥
β
α
). Под типом абелевой
группы
q
F
-точек на Е мы понимаем список
(
)
p|N
pp KK ,,,
βα
– порядков циклических р-
примарных сомножителей в упомянутом представлении в виде произведения (если
β
= 0,
то
β
p опускаем). Найти тип не всегда легко.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- …
- следующая ›
- последняя »
