ВУЗ:
Составители:
baxxy y) F(x,
32
−−−=
(или baxxcyy
+−++=
32
y) F(x, , baxxxyy
32
++++ , cbxaxxy
232
−−−− ),
то точка
()
yx, этой кривой называется неособенной (или гладкой) точкой, если, по край-
ней мере, одна из частных производных
x/F
∂
∂
, y/F
∂
∂
в этой точке не равна нулю (про-
изводные многочленов можно определить обычными формулами над любым полем).
Нетрудно показать, что условие отсутствия кратных корней у кубических много-
членов в правой части в (1) и (3) эквивалентно требованию, чтобы все точки кривой были
неособенными.
Эллиптические кривые над полем вещественных чисел.
Перед обсуждением конкретных примеров эллиптических кривых над различными
полями мы отметим чрезвычайно важное свойство точек эллиптической кривой: они обра-
зуют абелеву группу относительно операции сложения точек, о которой будет подробнее
сказано ниже. Чтобы объяснить наглядно, как это получается, мы временно будем пола-
гать, что К = R. т.е. что эллиптическая кривая
– обычная плоская кривая (с добавлением
еще одной точки О «в бесконечности»).
Определение.
Пусть Е – эллиптическая кривая над вещественными числами, и пусть Р и Q – две
точки на Е. Определим точки -Р и P+Q по следующим правилам:
1.Точка О – тождественный элемент по сложению («нулевой элемент») группы то-
чек. В следующих пунктах предполагается, что ни Р, ни Q не являются точками в беско
-
нечности.
2. Точки
()
yxP ,
=
и -Р имеют одинаковые х-координаты, а их у-координаты разли-
чаются только знаком, т.е.
()
(
)
yxyx
−
=
− ,, . Из (1) сразу следует, что
()
yx −, – также точка
на Е.
3. Если Р и Q имеют различные x-координаты, то прямая
PQl = имеет с Е еще в
точности одну точку пересечения R (за исключением двух случаев: когда она оказывается
касательной в Р, и мы тогда полагаем R = Р, или касательной в Q, и мы тогда полагаем R =
Q). Определяем теперь Р + Q как точку -R, т.е. как отражение от оси х третьей
точки пере-
сечения. Геометрическое построение, дающее Р + Q, приводится ниже в примере 1.
4. Если Q = -Р (т. е. х-координата Q та же, что и y P, а у-координата отличается
лишь знаком), то полагаем P + Q = О («точке в бесконечности»; это является следствием
правила 1).
5. Остается возможность Р = Q. Тогда считаем, что l – касательная
к кривой в точке
Р. Пусть R – единственная другая точка пересечения l с Е. Полагаем P + Q = -R (в качестве
R берем Р, если касательная прямая в Р имеет «двойное касание», т. е. если Р есть точка
перегиба кривой).
Пример 1.
На рис. 1 слева изображена эллиптическая кривая xxy
32
−= в плоско-
сти хОу и приведен типичный случай сложения точек Р и Q. Чтобы найти Р + Q, проводим
прямую
PQ и в качестве Р + Q берем точку, симметричную относительно оси x третьей
точке, определяемой пересечением прямой
PQ
и кривой. Если бы Р совпадала с Q, т.е.
если бы нам нужно было найти 2
Р, мы использовали бы касательную к кривой в Р: тогда
точка 2
Р симметрична третьей точке, в которой эта касательная пересекает кривую.
На рис. 1 справа аналогичным образом проиллюстрировано сложение точек
R и Q
на кривой 1
32
++= xxy .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- …
- следующая ›
- последняя »
