ВУЗ:
Составители:
Решение. Подстановка 9,3
11
=
−
=
yx , 8,2
22
=
−
=
yx в первое из уравнений (4) дает
6
3
=x ; тогда второе из уравнений (4) дает 0
3
=
y . Непосредственной подстановкой коор-
динат точки P + Q = (6, 0) в уравнение кривой можно убедиться в том, что она также ле-
жит на ней. Далее, подставляя
3
1
−
=
x , 9
1
=
y , 36
−
=
a в первое из уравнений (5), получа-
ем для х-координаты точки 2Р значение 25/4, а второе из уравнений (5) дает для у-
координаты значение -35/8. Точка 2P = (25/4, -35/8) также принадлежит рассматриваемой
кривой.
Существует несколько способов доказать, что множество точек на эллиптической
кривой с определенной выше операцией сложения образует абелеву группу. Можно ис-
пользовать результаты из
проективной геометрии, из комплексного анализа двоякоперио-
дических функций или алгебраическое доказательство, использующее теорию дивизоров
на кривых. Доказательства каждого из этих типов можно найти в источниках, указанных в
списке литературы.
Если n – целое число, то, как и в любой абелевой группе, nP обозначает сумму n
точек Р при n > 0 и сумму |n|
точек -Р, если
0
≤
n
.
Еще несколько слов о «точке в бесконечности» О. По определению, это нейтраль-
ный элемент группового закона. В графической интерпретации следует себе представлять
ее расположенной на оси у в предельном направлении, определяемом все более «круты-
ми» касательными к кривой. Она является «третьей точкой пересечения» с кривой для
любой вертикальной прямой: такая
прямая пересекается с кривой в точках вида
(
)
11
, yx ,
()
11
, yx − и в точке О. Мы изложим сейчас более естественный способ введения точки О.
Под проективной плоскостью мы понимаем множество классов эквивалентности
троек (X, Y, Z) (не все компоненты равны нулю), при этом две тройки называются эквива-
лентными, если одна из них – скалярное кратное другой, т.е. (
λ
X, λ Y, λ Z) ~ (X, Y, Z). Та-
кой класс эквивалентности называется проективной точкой. Если проективная точка име-
ет ненулевую компоненту Z, то существует, причем только одна, тройка в ее классе экви-
валентности, имеющая вид (х, у, 1): просто полагаем х = X/Z, у = Y/Z. Тем самым проек-
тивную плоскость можно представить как объединение всех точек (
х, у) обычной («аф-
финной») плоскости с точками, для которых Z = 0. Эти последние точки составляют то,
что называется бесконечно удаленной прямой; наглядно ее можно, себе представить на
плоскости как «горизонт». Любому алгебраическому уравнению кривой в аффинной
плоскости F(x, y) = 0 отвечает уравнение
),,(
~
ZYXF = 0, которому удовлетворяют соот-
ветствующие проективные точки: нужно заменить
х на X/Z, у – на Y/Z и умножить на под-
ходящую степень
Z, чтобы освободиться от знаменателей. Например, если применить эту
процедуру к аффинному уравнению (1) эллиптической кривой, то получится «проектив-
ное уравнение»
3232
bZ aXZ XZ Y ++= . Этому уравнению удовлетворяют все проек-
тивные точки (
X, Y, Z) с Z
≠
0, для которых соответствующие аффинные точки (х, у), где х
=
X/Z, y = Y/Z, удовлетворяют (1). Помимо них, какие еще точки бесконечно удаленной
прямой удовлетворяют последнему уравнению? Если положить в уравнении
Z = 0, то
уравнение примет вид
3
X
= 0, т.е. X = 0. Но единственный класс эквивалентности троек с
X = 0, Z = 0 – это класс тройки (0, 1, 0). Это и есть точка, которую мы обозначили О; она
лежит на пересечении оси
у с бесконечно удаленной прямой.
Эллиптические кривые над полем комплексных чисел.
Алгебраические формулы (4)-(5) для сложения точек на эллиптической кривой над
вещественными числами на самом деле имеют смысл над любым полем. В полях характе-
ристики 2 или 3 можно вывести аналогичные равенства, исходя из уравнений (2) или (3).
Можно показать, что точки эллиптической кривой над любым полем образуют абелеву
группу по сложению, определенную по этим формулам.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- …
- следующая ›
- последняя »
