Неопределенные интегралы. Желтухин В.С. - 3 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

F (x) X
f(x)
f(x) F
0
(x) = f(x)
dF (x) = f(x) dx
X F (x)
f(x) F (x) + C
C f(x)
f(x)
X
F (x) + C C
f(x) f(x) dx
Z
f(x) dx,
f(x)dx
f(x)
Z
x
2
dx =
x
3
3
+ C,
µ
x
3
3
+ C
0
=
3x
2
3
+ 0 = x
2
.
d
Z
f(x) dx = f(x) dx,
µ
Z
f(x) dx
0
= f(x).
Z
F
0
(x) dx =
Z
dF (x) = F (x) + C.
d
Z
F (x)
1        ÏÐÎÑÒÅÉØÈÅ ÏÐÈÅÌÛ ÂÛ×ÈÑËÅÍÈß
         Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ F (x) â äàííîì ïðîìåæóòêå X íà-
çûâàåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé ôóíêöèè f (x) èëè íåîïðåäåëåííûì èí-
òåãðàëîì îò f (x), åñëè âî âñåì ïðîìåæóòêå F 0 (x) = f (x) èëè
dF (x) = f (x) dx.
     Òåîðåìà. Åñëè â íåêîòîðîì ïðîìåæóòêå X ôóíêöèÿ F (x)
åñòü ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ ôóíêöèè f (x), òî è ôóíêöèÿ F (x) + C , ãäå
C  ëþáàÿ ïîñòîÿííàÿ, òàêæå áóäåò ïåðâîîáðàçíîé äëÿ f (x), è
íàîáîðîò, êàæäàÿ ôóíêöèÿ, ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ f (x) â íåêîòîðîì
ïðîìåæóòêå X , ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â ýòîé ôîðìå.
     Â ñèëó òåîðåìû, âûðàæåíèå F (x) + C , ãäå C  ïðîèçâîëüíàÿ
ïîñòîÿííàÿ, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáùèé âèä ôóíêöèè, êîòîðàÿ èìååò
ïðîèçâîäíóþ f (x) èëè äèôôåðåíöèàë f (x) dx è îáîçíà÷àåòñÿ ñèì-
âîëîì                      Z
                                         f (x) dx,

â êîòîðîì íåÿâíûì îáðàçîì óæå çàêëþ÷åíà ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿí-
íàÿ. Âûðàæåíèå f (x)dx íàçûâàþò ïîäèíòåãðàëüíûì âûðàæåíèåì,
à ôóíêöèþ f (x)  ïîäèíòåãðàëüíîé ôóíêöèåé.
     Îïåðàöèÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ïðîâåðÿåòñÿ îáðàòíûì äåéñòâèåì 
äèôôåðåíöèðîâàíèåì. Íàïðèìåð,
     Z                                          µ            ¶0
             2    x3                                 x3             3x2
           x dx =    + C,        ïîñêîëüêó              +C        =     + 0 = x2 .
                  3                                  3               3

Câîéñòâà èíòåãðàëà
             Z                                       µZ              ¶0
    1) d         f (x) dx = f (x) dx,     èëè             f (x) dx        = f (x).
         Z                 Z
                 0
    2)       F (x) dx =        dF (x) = F (x) + C.
                                                      Z
(çíàêè äèôôåðåíöèàëà d è èíòåãðàëà                        âçàèìíî ñîêðàùàþòñÿ,
òîëüêî âî âòîðîì ñëó÷àå ê F (x) íóæíî ïðèáàâèòü ïðîèçâîëüíóþ
ïîñòîÿííóþ).


                                           3

Страницы