Геодезия. Карабцова З.М. - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

71
Рис. 71. Теория полярного планиметра
Теория полярного планиметра. Пусть требуется измерить на плане площадь
некоторой криволинейной фигуры (рис. 35). Полюс планиметра О установлен внутри фигуры. На
рис. 35 схематично показаны: I - начальное положение рычагов планиметра и II - положение при
перемещении обводной точки по контуру фигуры на малое расстояние ВВ
\
. Обозначим через R
1
и R
длины обводного и полюсного рычагов, а через r — расстояние от счетного колеса до точки А
соединения рычагов.
Перемещение рычагов планиметра из положения ОАВ (I) в положение ОA
1
B
1
(II) можно
разложить на три движения: 1) поворот полюсного рычага К вокруг полюса О на угол а; 2) парал-
лельное перемещение обводного рычага R
1
из положения АВ в положение А
1
С на расстояние h; 3)
поворот обводного рычага R
1
вокруг А
1
на угол β.
Площадь фигуры ОАВВ
1
А
1
О можно представить суммой площадей трех фигур:
площади сектора
;
22
2
11
a
RR
AAOAAS =⋅∪=
площади параллелограмма
;
11
hRABCAS ⋅=
площади сектора
;
22
2
11
111
β
RR
CBCBAS =⋅∪=
(углы а и β выражены в радианной мере).
Тогда площадь фигуры ОАВВ
1
А
1
О
.
22
1
2
1
2
1
hR
R
R
S ⋅++=
βα
(26)
При перемещении обводной точки из В в С счетное колесо переместится из положения «а» в
положение «с» и пройдет путь, равный h. При повороте обводного рычага вокруг точки А
1
из по-
ложения А
1
С в положение A
1
B
1
на угол β счетное колесо будет вращаться в обратном направлении на
величину дуги ab=r·β. Следовательно, общий путь счетного колеса будет равен h - r β.
Пусть n
о
и n
1
— отсчеты по планиметру при положениях рычагов ОАВ (I) и ОA
1
B
1
(II), а t -
цена деления счетного колеса в линейной мере. Тогда путь счетного колеса можно выразить как
t(п
1
—п
o
). Отсюда
)
1
(
o
nntrh
−
=⋅−
β
или .)(
1
β
⋅
+
−
=
rnnth
o
Подставив значение h в формулу (26), получим
).(
22
111
2
1
2
1 o
nntRrR
R
a
R
S −+++=
ββ
(27)
Площадь всей фигуры будет равна сумме элементарных площадей S
1
, S
2
, ..., S
п
: 
                                                         Рис. 71. Теория полярного планиметра

       Теория полярного планиметра .              Пусть требуется измерить на плане площадь
некоторой криволинейной фигуры (рис. 35). Полюс планиметра О установлен внутри фигуры. На
рис. 35 схематично показаны: I - начальное положение рычагов планиметра и II - положение при
перемещении обводной точки по контуру фигуры на малое расстояние ВВ\. Обозначим через R1 и R
длины обводного и полюсного рычагов, а через r — расстояние от счетного колеса до точки А
соединения рычагов.
       Перемещение рычагов планиметра из положения ОАВ (I) в положение ОA1B1 (II) можно
разложить на три движения: 1) поворот полюсного рычага К вокруг полюса О на угол а; 2) парал-
лельное перемещение обводного рычага R1 из положения АВ в положение А1С на расстояние h; 3)
поворот обводного рычага R1 вокруг А1 на угол β.
       Площадь фигуры ОАВВ1А1О можно представить суммой площадей трех фигур:
       площади сектора
                         R R2
       SOAA1 = ∪ AA1 ⋅     =   a;
                         2   2
       площади параллелограмма        SABCA1 = R1 ⋅ h;
       площади сектора
                         R1 R12
       SA1CB1 = ∪CB1 ⋅     =    β;
                         2   2
       (углы а и β выражены в радианной мере).
       Тогда площадь фигуры ОАВВ1А1О
                              2
            R2    R
       S1 =    α + 1 β + R1 ⋅ h.                                             (26)
            2      2
       При перемещении обводной точки из В в С счетное колесо переместится из положения «а» в
положение «с» и пройдет путь, равный h. При повороте обводного рычага вокруг точки А1 из по-
ложения А1С в положение A1B1 на угол β счетное колесо будет вращаться в обратном направлении на
величину дуги ab=r·β. Следовательно, общий путь счетного колеса будет равен h - r β.
       Пусть nо и n1 — отсчеты по планиметру при положениях рычагов ОАВ (I) и ОA1B1 (II), а t -
цена деления счетного колеса в линейной мере. Тогда путь счетного колеса можно выразить как
t(п1—пo). Отсюда
        h − r ⋅ β = t (n − n ) или h = t (n1 − no ) + r ⋅ β .
                          1       o
       Подставив значение h в формулу (26), получим
            R2    R12
       S1 =    a+     β + R1 rβ + R1 t (n1 − n o ).                          (27)
            2      2
       Площадь всей фигуры будет равна сумме элементарных площадей S1, S2, ..., Sп:



                                                                                                71

Страницы