Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 217 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

216 Приложение
По предположению |d
k
| > 0. Поэтому мы можем сделать |h|настолько
малым, чтобы
|d
k+1
||h|
k+1
··· + |d
n
||h|
n
6 |d
k
h
k
|/2. (11.3)
При необходимости еще уменьшая |h|, добьемся того, чтобы и нера-
венство
|d
k
h
k
| 6 1/2 (11.4)
выполнялось.
Пусть ϕ = arg d
k
, ψ = arg h. Имеем
d
k
h
k
= |d
k
||h
k
|(cos(ϕ + kψ) + i sin(ϕ + kψ)).
Величина ψ находится в нашем распоряжении. Выберем ее так, чтобы
выполнялось равенство ϕ + kψ = π + 2πj, где целое число j назнача-
ется так, что ψ ∈ [0, 2π].
Тогда
d
k
h
k
= −|d
k
||h
k
| < 0. (11.5)
С учетом (11.4), (11.5) имеем |1 + d
k
h
k
| = |1 − |d
k
h
k
|| = 1 − |d
k
h
k
|,
следовательно (см (11.3)–(11.5)),
|1 + d
k
h
k
| + |d
k+1
||h|
k+1
+ ··· + |d
n
||h|
n
=
= 1 − |d
k
h
k
| + |d
k+1
||h|
k+1
··· + |d
n
||h|
n
6 1 − |d
k
h
k
|/2 < 1, (11.6)
а это означает (см. (11.2)), что f(x
2
) < f(x
1
). Для завершения дока-
зательства теоремы достаточно напомнить, что x
1
— точка минимума
функции f на замыкании B
R
. ¤
216                                                                   Приложение


По предположению |dk | > 0. Поэтому мы можем сделать |h| настолько
малым, чтобы
                   |dk+1 ||h|k+1 · · · + |dn ||h|n 6 |dk hk |/2.            (11.3)
При необходимости еще уменьшая |h|, добьемся того, чтобы и нера-
венство
                         |dk hk | 6 1/2                    (11.4)
выполнялось.
   Пусть ϕ = arg dk , ψ = arg h. Имеем
              dk hk = |dk ||hk |(cos(ϕ + kψ) + i sin(ϕ + kψ)).
Величина ψ находится в нашем распоряжении. Выберем ее так, чтобы
выполнялось равенство ϕ + kψ = π + 2πj, где целое число j назнача-
ется так, что ψ ∈ [0, 2π].
    Тогда
                          dk hk = −|dk ||hk | < 0.           (11.5)
С учетом (11.4), (11.5) имеем |1 + dk hk | = |1 − |dk hk || = 1 − |dk hk |,
следовательно (см (11.3)–(11.5)),

 |1 + dk hk | + |dk+1 ||h|k+1 + · · · + |dn ||h|n =
                  = 1 − |dk hk | + |dk+1 ||h|k+1 · · · + |dn ||h|n
                                                      6 1 − |dk hk |/2 < 1, (11.6)

а это означает (см. (11.2)), что f (x2 ) < f (x1 ). Для завершения дока-
зательства теоремы достаточно напомнить, что x1 — точка минимума
функции f на замыкании BR . ¤

Страницы